問題描述
《審美的歷程》課上有n位學生，帥老師展示了m幅畫，其中有些是梵高的作品，另外的都出自五歲小朋友之手。老師請同學們分辨哪些畫的作者是梵高，但是老師自己並沒有答案，因爲這些畫看上去都像是小朋友畫的……老師只想知道，有多少對同學給出的答案完全相反，這樣他就可以用這個數據去揭穿披着皇帝新衣的抽象藝術了（支持帥老師_）。
答案完全相反是指對每一幅畫的判斷都相反。
輸入格式
第一行兩個數n和m，表示學生數和圖畫數；
接下來是一個n*m的01矩陣A：
如果aij=0，表示學生i覺得第j幅畫是小朋友畫的；
如果aij=1，表示學生i覺得第j幅畫是梵高畫的。
輸出格式
輸出一個數ans：表示有多少對同學的答案完全相反。
樣例輸入
3 2
1 0
0 1
1 0
樣例輸出
2
樣例說明
同學1和同學2的答案完全相反；
同學2和同學3的答案完全相反；
所以答案是2。
數據規模和約定
對於50%的數據：n<=1000；
對於80%的數據：n<=10000；
對於100%的數據：n<=50000，m<=20。
解題思路與代碼
暴力求解
思路就是定義一個足夠空間的二維數組，每一行存放每位同學對畫的看法，一共n行，m列。
輸入數據後，
依次比較每一行元素是否都相反，是則ans++
由此時間複雜度爲O(n2*m),由於n<=50000,m<=20，可能會超時。
代碼
#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int a[50001][21];
int Compare(int i,int j,int m)
{
int x;
//比較第i行和第j行的所有數據是否完全相反,和爲1
for(x=1;x<=m;x++){
if(a[i][x]+a[j][x]==0||a[i][x]+a[j][x]==2)//都是0或者都是1則不符合完全相反的條件
return 0;
}
if(x>m)
return 1;
//for循環執行完了才說明第i行和第j行的所有數據完全相反
}
int main()
{
int n,m;//兩個數n和m，表示學生數和圖畫數；
cin>>n>>m;//n<=50000，m<=20。
//接下來輸入n行，m列
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
cin>>a[i][j];
}
int ans=0;//最終的學生對數
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++){
if(Compare(i,j,m)==1)
ans++;
}
cout<<ans;
return 0;
}
結果，只能過60%的數據。
二進制保存，取反操作
如果把每一位同學的看法(即每一行01序列)看成是一個二進制表示的數，則220-1最大不超過15000000，完全可以用32位的int表示。
如何判斷兩位同學的看法完全相反？
學過數字邏輯原理的課程，有異或，同或操作，異或的運算法則可以概括爲相同爲0，不同爲1
如果一個二進制串與11…1異或，則實現了按位取反操作。這就是本思路的來源。
由此，所有同學的看法信息可以保存在一個一維數組中，整個算法的時間複雜度也降爲O(n2)。
代碼
#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int a[50001];//n<=50000
int main()
{
int n,m;//兩個數n和m，表示學生數和圖畫數；
//n<=50000，m<=20。
cin>>n>>m;
//接下來輸入n行
memset(a,0,sizeof(a));//a數組初值爲0
for(int i=1;i<=n;i++){
int temp;
for(int j=1;j<=m;j++){
cin>>temp;
a[i] = (a[i]<<1) + temp;//構造二進制表達的整型數字
}
}
int ans = 0;
int max = (1<<m) - 1;//構造11...1序列
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++){
if(a[i] == (a[j]^max))//如果a[i] == a[j]按位取反
ans++;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
結果，只能過80%的數據
增強版二進制按位取反
只能過80%的數據說明O(n2)的時間複雜度還是可能會超時，必須再進行優化，優化的思路是：
統計每種看法二進制序列表示的數值相同的同學個數，將時間複雜度降爲O(n)。
這樣還需要定義一個b數組，每次求出a[i]的值之後b[a[i]]++;
b數組的最大長度爲220-1 ;
這裏就定義int b[15000001];
代碼
#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int a[50001];
int b[1500001];
int main()
{
int n,m;//兩個數n和m，表示學生數和圖畫數；
//n<=50000，m<=20。
cin>>n>>m;
//接下來輸入n行
memset(a,0,sizeof(a));//a數組初值爲0
memset(b,0,sizeof(b));//b數組初值爲0
for(int i=1;i<=n;i++){
int temp;
for(int j=1;j<=m;j++){
cin>>temp;//構造二進制表達的整型數字
a[i] = (a[i]<<1) + temp;
}
b[a[i]]++;//統計持看法數值爲a[i]的學生數
}
int ans = 0;
int max = (1<<m) - 1;//構造11...1序列
for(int i=1;i<=n;i++){
int temp = a[i]^max;//對i同學的看法數值進行按位取反，
//temp爲按位取反之後的數值
//b[temp]爲與i同學持完全相反觀點的學生個數
ans += b[temp];
}
ans = ans/2;//要求出的是持完全相反觀點的學生對數，對ans要減半。
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
結果，全部數據通過
