小波變換網文精粹：小波變換教程(五)
原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial
網址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html
譯文轉自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/359431362009109102040700/
五、終極解決方案：小波變換
小波變換是這樣一種變換：它提供了信號的時頻表示（還有一些變換可以提供這些信息，如短時傅立葉變化，魏格納分佈等等）。
在任一刻出現的特殊的頻譜分量都有特殊的意義。這種情況下，如果知道了這些特殊的頻譜分量出現的時間會比較有益。舉例來說，在腦電圖中，一個事件相關電位的潛伏期是主要關注點（事件相關電位是指大腦對某一特定刺激的反應，例如閃燈，這種反應的潛伏期是從刺激的開始到反應發生這段時間）。
小波變換可以同時提供時間和頻率信息，因此給出了信號的一種時頻表示。
但是小波變換到底是如何變換的仍然是一個不同的有趣故事，需要在理解了短時傅立葉變換(STFT)之後再解釋。小波變換是被用來替代短時傅立葉變換(STFT)的。我們將在後面詳細闡述STFT。現在可以說，一些在STFT中遇到的有關分辨率的問題，可以用小波變換解決。
爲了長話短說，我們略過一些時域信號的高通和低通濾波處理，這些濾波器用來濾除信號中的低頻和高頻部分分量。這個過程是重複進行的，每一刻都可以從信號中濾除一些頻率分量。
這裏解釋一下濾波過程是如何工作的：假定我們有一個信號，其中最高頻分量爲1000Hz。第一步，我們通過高通和低通濾波器把信號分成兩部分（濾波器必須滿足某些特定的條件，即允許條件），結果產生了同一信號的兩個不同版本，0-500Hz的信號（低通）和500-1000Hz的信號（高通）。
然後，我們可以拿任意一部分（通常是低頻部分）或者二者來做相同的處理。這個過程叫做分解。
假設我們拿低頻部分做了處理，現在我們就有了3列數據，分別爲0-250Hz，250-500Hz和500-1000Hz。
然後再對低通濾波過的信號做高通和低通濾波處理，現在我們就有了4列數據，分別爲0-125Hz，125-250Hz，250-500Hz和500-1000Hz。我們持續進行這個處理過程，直到將信號分解到一個預定義的級別。這樣我們就有了一系列信號，這些信號實際上表示相同的信號，但是每一個序列都有不同的頻帶。我們知道哪些信號對應哪個頻段，如果我們將這些信號放在一起畫出三維圖，一個軸表示時間，頻率在另外一個軸上，幅度在第三個軸上。這幅圖會告訴我們在某時刻出現的是什麼頻率的信號（這裏有一個問題，叫做“不確定性原理”，即我們不能確切的知道哪個頻率出現在哪個時間點上，我們僅僅知道那個頻段出現在哪個時間段內，後文中將有更多關於此的介紹）。
不過，我仍然想用一個簡明扼要的方式解釋它：
最初是由海森堡發現並闡述了不確定性原理（測不準原理），這個原理是這樣的，移動粒子的動量和位置不能同時確定，對我們這個課題則是這樣的：
在時頻平面內的一個確切的點上，信號的頻率和發生時間不能同時確定。換句話說：在任意一個時間點，我們不能確定哪個頻譜分量存在。我們能做到的是在一個給定的時間段內確定哪個頻譜分量存在。這是一個設計到分辨率的問題，正是因爲這個原因，才使得研究者們從快速傅立葉變換(STFT)轉到了小波變換(WT)上。快速傅立葉變換的分辨率是固定的，而小波變換則能給出不同的分辨率：
高頻信號在時域內可以得到很好的解決，低頻信號則可以在頻域內得到很好的解決，這意味着，相對於低頻分量，高頻分量更容易在時域內定位（因爲有更小的相對誤差）。反而言之，低頻分量更容易在頻域內定位。看下面這張圖：
f ^
|******************************************* continuous
|* * * * * * * * * * * * * * * wavelet transform
|* * * * * * *
|* * * *
|* *
--------------------------------------------> time
對上圖的解釋是：最上面一行是對高頻信號的多個採樣，其採樣間隔時間也較短。就是說高頻信號更容易在時域內處理。最下面的一行是對低頻信號的採樣，特徵點較少，因此，低頻信號在時域內並不容易處理。
^frequency
|
|
|
| *******************************************************
|
|
|
| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * discrete time
| wavelet transform
| * * * * * * * * * *
|
| * * * * *
| * * *
|----------------------------------------------------------> time
在離散時間域內，信號的時間分辨率如上圖所示，但是現在，頻率信息的分辨率在每一個階段都不相同。注意，低頻信號更容易在頻域內處理，高頻則正好相反。注意到圖中後續頻率分量的間隔是如何隨頻率增高（這裏應爲降低）而增大的。
下圖是一些連續小波變換的例子。讓我們以一個正弦波爲例，這個正弦波包含了出現在不同時刻的兩個頻率分量。前半部分是低頻信號，後面是高頻信號。
圖1.7
對上圖的連續小波變換如下：
圖1.8
注意到上圖中，以“尺度”爲標籤的軸代表頻率。“尺度”這個概念將會在後續章節進行闡述，但是這時需要注意的是尺度正好與頻率成反比，即：尺度越大頻率越低，尺度越小頻率越高。因此，圖中的小尖峯反映了信號中的高頻分量，大的尖峯則反映了信號中的低頻分量（在時域內低頻信號是先出現的）。
你可能被圖中的頻率分辨率搞迷惑了，因爲高頻信號也得到了很好的頻率分辨率。但是需要注意的是，高頻信號的尺度分辨率很高，高尺度分辨率意味着低頻率分辨率，反之則反。更多關於此的介紹在文章的後續部分。