轉自：http://blog.csdn.net/jinhongdu/article/details/8065003
可以分析，當n=1時，只有1個根節點，則只能組成1種形態的二叉樹，令n個節點可組成的二叉樹數量表示爲h(n)，則h(1)=1; h(0)=0;
當n=2時，1個根節點固定，還有2-1個節點。這一個節點可以分成（1,0），（0,1）兩組。即左邊放1個，右邊放0個；或者左邊放0個，右邊放1個。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，則能組成2種形態的二叉樹。
當n=3時，1個根節點固定，還有2個節點。這2個節點可以分成（2,0），（1,1），（0,2）3組。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，則能組成5種形態的二叉樹。
以此類推，當n>=2時，可組成的二叉樹數量爲h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)種，即符合Catalan數的定義，可直接利用通項公式得出結果。
令h(1)＝1,h(0)=1，catalan數（卡特蘭數）滿足遞歸式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另類遞歸式：
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
該遞推關係的解爲：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
擴展：
1、括號化問題 矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)
2、出棧次序問題 一個棧(無窮大)的進棧序列爲1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?
分析
對於每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設爲狀態‘1’，出棧設爲狀態‘0’。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進制數。由於等待入棧的操作數按照1‥n的順序排列、入棧的操作數b大於等於出棧的操作數a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃描由n個1和n個0組成的2n位二進制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。
在2n位二進制數中填入n個1的方案數爲c(2n,n),不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數大於1的累計數）的方案數即爲所求。
不符合要求的數的特徵是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成爲n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進制數，由於0的個數多2個，2n爲偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成爲由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應一個不符合要求的數。
因而不合要求的2n位數與n＋1個0，n－1個1組成的排列一一對應。
顯然，不符合要求的方案數爲c(2n,n+1)。由此得出 輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。
（這個公式的下標是從h(0)=1開始的）
類似問題
有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
3、凸多邊形的三角剖分問題 求將一個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數。
類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
4、 用給定節點組成二叉樹的問題 給定N個節點，能構成多少種不同的二叉樹？
（能構成h（N）個）