【樹】【數論】[BZOJ1005][HNOI2008]明明的煩惱

題目描述

自從明明學了樹的結構,就對奇怪的樹產生了興趣…… 給出標號爲1到N的點,以及某些點最終的度數,允許在任意兩點間連線,可產生多少棵度數滿足要求的樹?

樣例輸入

3
1
-1
-1

樣例輸出

2

題目解析

首先我們根據prufer數列可以知道任意一棵無根樹可以表示爲任意一個長度爲n−2 的串並且有以下的性質任意一點的度爲di 那麼該數字將會在數列中出現di−1 次，那麼我們可以知道該數列的總長度就是sum=∑ni=1di−1 當然前提是n 個度數全部已知，那麼我們已經知道了n 個點的度數，我們可以構造出多少不同的prufer數列呢可以發現答案就是

(n−2)!∏ni=1(di−1)!

但是我們現在並不知道這麼多，我們現在已知的有cnt 個，那麼我們未知的有n−cnt 個，那麼我們如果不管不知道的，但是現在有n−2 個空位所以答案是

Csumn−2sum!∏ni=1(di−1)!

但是現在我們還有(n−cnt) 個未知那麼我們的答案就是

Csumn−2sum!∏ni=1(di−1)!×(n−cnt)n−2−sum

那麼我們化簡可以得到

(n−2)!sum!(n−2−sum)!sum!∏ni=1(di−1)!×(n−cnt)n−2−sum

(n−2)!(n−2−sum)!∏ni=1(di−1)!×(n−cnt)n−2−sum

因爲n−2 還是比較大所以靠分解質因數來解決高精度的問題。

---

關於prufer唯一性其實很好證明如果兩個prufer的數列是一樣的那麼意味着每一個節點的每一個兒子數量相同，並且出入度和位置相同，那難道不一樣麼。

代碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
int answ[MAXN+10], prime[MAXN+10], t[MAXN*10+10], d[MAXN+10];
bool notprime[MAXN+10];
void GetPrime(int Max){
    int tmp;
    for(int i=2;i<=Max;i++){
        if(!notprime[i])
            prime[++prime[0]] = i;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&(tmp=prime[j]*i)<=Max;j++){
            notprime[tmp] = true;
            if(i%prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
}
void add(int u, int m){
    for(int i=1;i<=prime[0]&&u>1;i++){
        while(u%prime[i]==0){
            u /= prime[i];
            answ[i] += m;
        }
    }
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int sum=0, cnt=0, flag = 0;
    GetPrime(1000);
    int t1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d", &t1);
        d[i] = t1;
        if(t1 == 0 || t1 >= n) flag = 1;
        if(t1 == -1){
            continue;
        }else{
            cnt++;
            sum += (--t1);
            for(int j=1;j<=t1;j++)
                add(j, -1);
        }
    }
    t1 = n-2;
    for(int i=1;i<=t1;i++)
        add(i, 1);
    if(n == 1){
        if(t1 == -1) printf("1\n");
        else printf("0\n");
        return 0;
    }
    if(n == 2){
        if((d[1]==0||d[1]>1) || (d[2]==0||d[2]>1)) printf("0\n");
        else printf("1\n");
        return 0;
    }
    if(flag){
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    t1 = n-2-sum;
    for(int i=1;i<=t1;i++)
        add(i, -1);
    add(n-cnt, n-2-sum);
    t[0] = t[1] = 1;
    for(int i=1;i<=prime[0];i++){
        while(answ[i]){
            answ[i]--;
            for(int j=1;j<=t[0];j++)
                t[j] *= prime[i];
            for(int j=1;j<t[0];j++){
                t[j+1] += t[j] / 10;
                t[j] %= 10;
            }
            while(t[t[0]] >= 10){
                t[t[0]+1] = t[t[0]]/10;
                t[t[0]] %= 10;
                t[0]++;
            }
        }
    }
    for(int i=t[0];i;i--)
        printf("%d", t[i]);
    printf("\n");

    return 0;
}