LOD地形設計（四）

（一）世界座標系向觀察座標系的轉換 假如任何形體都放在世界座標系中，那麼計算是相當複雜的，爲了簡化計算，我們需要把形體從世界座標系轉到觀察座標系中。觀察座標系的原點在是世界座標系的位置爲Eye，Z軸與觀察方向一致（從Eye出發到At點的向量）如圖4-1所示： 圖4-1 假設觀察座標系的座標軸分別以單位向量xaxis,yaxis,zaxis,則： xaxis= normal (At-Eye); yaxis= normal (cross(Up,zaxis)); zaxis= normal (zaxis,xaxis); 假設世界座標系中任意一點P的座標（x,y,z）,在觀察座標系中的座標（x'，y'，z'）。 x' = (P-Eye)* xaxis = x*xaxis.x + y* xaxis.y + z * xaxis.z - xaxis*Eye y' = (P- Eye)*yaxis = x*yaxis.x + y* yaxis.y + z * yaxis.z - yaxis*Eye z'= (P- Eye)*zaxis = x*zaxis.x + y* zaxis.y + z * zaxis.z - zaxis*Eye (x',y',z',1) = (x,y,z,1)* 所以從世界座標系向觀察座標系變換的矩陣爲 （二）齊次裁剪透視投影變換 真實的物體是三維的，但是計算機屏幕是二維的，必須把三維物體投影到屏幕平面上，而且還要保存深度信息，這個變換過程稱爲投影變換，如圖4-2所示 圖4-2 假設視截體Y方向的張角fov，近平面Zn，遠平面的Zf，近平面的寬高比aspect，現在可以直到近平面的方程z=Zn，遠平面 z=Zf。 圖4-3 由圖4-3可以看出，視截體的頂面方程爲y=z*tan(fov/2);底面方程=-z*tan（fov/2）；視截體的右側面x=cot(fov/2)*aspect*z. 左側面方程x=-cot(fov/2)*aspect*z. 首先尋求把頂面y = z*tan(fov/2) 轉換爲y'=1,y'=k*y ,k=cot(fov/2)*y/z就是滿足條件的變換，底面變換也是這個表達式。 右側面x = cot(fov/2)*aspect*z,轉換爲x'=1, x'=p*x, 從而p=（tan(fov/2)/aspect)/z(左側面表達式相同). 最後尋求把近平面Zn轉換爲z'=0;Zf轉換爲z'=1. z'= r*z + s.於是r* Zn + s =0,r*Zf + s =1,由此求出 r= /(Zf-Zn), s= -Zn/(Af-Zn). 透視投影變換矩陣= （三）視截體平面的計算 根據模型變換矩陣和投影變換矩陣，可以計算出視截體的6個平面。世界座標系中的視截體在模型變換和透視投影變換後，成爲觀察座標系中的[-1,1]*[-1,1]*[0,1]。設模型變換A，投影變換B，M=A*B,視截體的方程:ax+by+cz+d=0。該平面在觀察座標系中的形式爲a'x'+b'y'+c'z'+d'=0. (x',y',z',1) = (x,y,z,1)M (x,y,z,1)(a,b,c,d)(轉置)=0 (x',y',z',1)(a',b',c',d')(轉置) = 0 可得：（x,y,z,1）M(a',b',c',d')(轉置) = 0 （a,b,c,d）(轉置)= M (a',b',c',d')（轉置） a=M11a'+M12b'+M13c'+M14d' b=M21a'+M22b'+M23c'+M24d' c=M31a'+M32b'+M33c'+M34d' d=M41a'+M42b'+M43c'+M44d' 視截體的6個平面的法向量均指向視截體內部，視截體的左側面leftplane 觀察座標系中的左側面x+1=0 ，代入上式可得視截體左側面的係數 a=M11+M14 b=M21+M24 c=M31+M34 d=M41+M44 右側面的方程1-x=0;係數 a=M14-M11 b=M24-M21 c=M34-M31 d=M44-M41 同理：頂面係數 a=M14-M12 b=M24-M22 c=M24-M32 d=M44-M42 底面係數 a=M12+M14 b=M22+M24 c=M32+M34 d=M42+M44 近平面係數： a=M13 b=M23 c=M33 d=M43 遠平面係數： a=M14-M13 b=M24-M23 c=M34-M33 d=M44-M43 上述內容是涉及視截體計算的數學基礎，下一節實戰視截體編程！