Fibonacci數列第N項的兩種計算方法比較

一、斐波那契數列（Fibonacci Sequence）的定義

       斐波那契數列的發明者，是意大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生於公元1170年，卒於1240年，籍貫大概是比薩）。
　　斐波那契數列指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 
　　這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。如果設F(n）爲該數列的第n項（n∈N+）。那麼這句話可以寫成如下形式： 
　　F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2），

 

二、Fibonacci數列公式推導

可採用特徵方程法： 
　　對於數列F(n)，遞推公式爲F(n+1)=pF(n)+qF(n-1)，其特徵方程爲x^2=px+q 即x^2-px-q=0， 
　　1、 若方程有兩相異根α,β，則F(n)=c1·α^(n-1)+c2·β^(n-1)；·· 
　　2、 若方程有兩等根α=β，則F(n)=(c1+nc2)·α^(n-1)， 
　　其中 c1,c2 可由初始條件確定，初始條件通常爲F(1)與F(2)。

根據特徵方程法，可以推出 Fibonacci 數列的第 n 項的公式爲（n = 1，2，.....）：

         

 

三、Fibonacci 數列計算源代碼

 

/******************************************************************************
Copyright by Javacode007, All rights reserved!
Filename    : Fibonacci.c
Author      : Javacode007
Date        : 2012-8-4
Version     : 1.0
Description : 斐波那契(Fibonacci)數列算法演示
******************************************************************************/
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <math.h>

#define ITEM (sqrt(5))

unsigned int Fibonacci_recursive(unsigned int n)
{
    if(0 == n || 1 == n)
    {
        return 1;
    }
    return (Fibonacci_recursive(n - 1) + Fibonacci_recursive(n -2));
}

unsigned int Fibonacci(unsigned int n)
{
    unsigned int a = 0;
    //float b = sqrt(5);
    //a = (pow((1 + b)/2, n + 1) - pow((1 - b)/2, n + 1))/b;;

    a = (pow((1 + ITEM)/2, n + 1) - pow((1 - ITEM)/2, n + 1))/ITEM;;

    return a;
}

int main()
{
    int n = 40;
    clock_t start, end;
    int ret = 0;

    start = clock();
    ret = Fibonacci_recursive(n);
    end = clock();
    printf("Fibonacci(%u) = %u , Time Cost: %f s\r\n", n, ret, (float)(end - start)/CLOCKS_PER_SEC);

    start = clock();
    ret = Fibonacci(n);
    end = clock();
    printf("Fibonacci(%u) = %u , Time Cost: %f s\r\n", n, ret, (float)(end - start)/CLOCKS_PER_SEC);

    return 0;
}

 

 

注： 源代碼的第27、 28 行已經註釋，而是利用宏定義替換計算5的平方根， 從而避免浮點數計算帶來的累積誤差，感興趣的朋友可以試試，對比兩者的計算結果^_^

  輸出結果如下：

 

若將 n 修改爲 45， 則計算結果如下：

 

四、總結

          通過對比計算 Fibonacci 數列的兩種計算方式，可以很明顯的看出， 採用公式法， 計算速度遠遠大於遞歸計算方法。因此，我們在遇到類似遞歸數列時，首先應該分析，通過推導出線性遞推數列的通項公式，用公式代替遞歸計算，將提高計算速度，並降低內存消耗。