[hdu 1398] Square Coins（母函數） + 母函數小解析

關於母函數網上有一大堆解析，不過解析具體代碼的好像不多，這裏就簡要介紹一下好了。僅供初學者參考，老鳥請路過-.-

這篇博客雖然寫的是hdu 1398，不過我們還是從hdu 1028開始比較好，因爲這道題是最赤裸裸的母函數模板。

母函數說白了就是計算幾個式子的乘積，如

(1 + x + x^1 + x^2)(1 + x^2) = 1 + x + 2x^2 + x^3 + x^4

通過母函數我們要得出的就是右式。我們設兩個變量c1和c2，c2是臨時數組，先不管它，我們將c1的下標設爲指數，值設爲這個指數的係數，如5x^3就是c1[3] = 5。

先看一看代碼

    #include<iostream>  
    using namespace std;  
      
    #define maxn 125  
    int c1[maxn], c2[maxn];  
      
    int main()  
    {  
        int n;  
        while(~scanf("%d", &n))  
        {  
            for(int i = 0; i <= n; i++)  // --- 第一步
            {  
                c1[i] = 1;  
                c2[i] = 0;  
            }  
            for(int i = 2; i <= n; i++)   // --- 第二步
            {  
                for(int j = 0; j <= n; j++)   // --- 第三步
                    for(int k = 0; k+j <= n;k+=i)  // --- 第四步
                        c2[k+j] += c1[j];           // --- 第五步
                for(int i = 0; i <= n; i++)     // 第六步
                {  
                    c1[i] = c2[i];  
                    c2[i] = 0;  
                }     
            }  
            printf("%d\n", c1[n]);  
        }  
        return 0;  
    }  

hdu 1028要計算的是(1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x ^2 + x^4 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + ...)

與手動計算一樣，先是第一個括號乘以第二個括號，得到結果後再繼續與第三個括號相乘，如此下去。

那麼我們首先初始化第一個括號的參數，也就是上述代碼中的第一步。然後從第二個括號開始乘，那麼就是上述的第二步。接下來的j依次指向第一個括號中的每一個數。

第四步是關鍵，k指向的是第二個括號中的每一個數，說到這裏可能還是比較模糊，我們就來手動執行一下。我們假設hdu1028的n現在是2

(1 +  x + x^2) * (1 + x^2)

首先j指向第一個括號中的第一個數，也就是1，然後依次與第二個括號中的數相乘，那麼k循環一遍後我們得到了1 + x^2，接着我們把它記錄到c2這個臨時數組中

所以是c2[j+k] += c1[j]。j+k指的是相乘後的指數，c1[j]指的是【第一個括號中，指數爲j的數的係數】。

爲什麼是這樣寫的呢？個人所見，可以從兩方面理解：一是因爲，第二個括號中的係數都是1，因爲個數的含義體現在了指數上，這個很好理解。二是因爲，這個表達式前兩個括號相加後，是合併到第一個括號中的，然後繼續與"第二個“括號相乘，這裏的"第二個"括號實際上是第三個括號。

例如這個表達式：(1 + 2x + 3x^2) * (1 + x^2)，我們會得到如下值：

(1 + 2x + 3x^2) * (1 + x^2) = 1 + x^2 + 2x + 2x^3 + 3x^2 + 2x^4，然後是合併同指數的係數，得到1 + 2x + 4x^2 + 2x^3 + 3x^4

所以是c2[j+k] += c1[j]。從這裏可以看出，母函數就是經過不斷計算，將指數一層層疊加到第一個括號中。

現在c2數組存了更新後的"第一個括號的係數"，所以要放回c1中，供下次相乘使用。

現在回過來看看hdu 1398，(1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x^2 + x^4 + ...) * (1 + x^9 + x^18 + ...)

同樣的，初始化0~n都是1，然後從第二個括號開始計算，因爲第一個括號永遠都是n+1項，所以j是從0到n。

第i個括號中的指數增量是i*i，所以代碼就成型了。

#include<iostream>
using namespace std;

#define maxn 310
int c1[maxn], c2[maxn];

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d", &n) && n)
    {
        memset(c1, 0, sizeof(c1));
        memset(c2, 0, sizeof(c2));
        for(int i = 0; i <= n; i++)
            c1[i] = 1;
        for(int i = 2; i*i <= n; i++)
        {
            for(int j = 0; j <= n; j++)
                for(int k = 0; j + k <= n; k += i*i)
                    c2[j+k] += c1[j];

            for(int i = 0; i <= n; i++)
            {
                c1[i] = c2[i];
                c2[i] = 0;
            }
        }
        printf("%d\n", c1[n]);
    }
    return 0;
}