NKoj 2118 Handy Service（計算幾何）

題目鏈接：http://acm.nankai.edu.cn/p2118.html

 

題 意：給出一個多邊形和多邊形外兩點A，B，求在不穿過多邊形的條件下，兩點A，B間的最短距離。

 

最短路問題，可以在能夠直接相連的頂點間連邊，然後求A點到B的最短路。

建圖的關鍵在於判斷兩點的連線是否穿越了多邊形。

 

有這樣一個結論：如果線段穿越多邊形，則1：線段與多邊形中的邊有內交關係

或2： 在所有與頂點相交的點中的相鄰交點連線在多邊形內。

 

http://bbs.pep.com.cn/thread-241056-1-1.html

[算法]判斷線段是否在多邊形內 判斷線段是否在多邊形內 線段在多邊形內的一個必要條件是線段的兩個端點都在多邊形內； 如果線段和多邊形的某條邊內交（兩線段內交是指兩線段相交且交點不在兩線段的 端點），因爲多邊形的邊的左右兩側分屬多邊形內外不同部分，所以線段一定會有 一部分在多邊形外。於是我們得到線段在多邊形內的第二個必要條件：線段和多邊 形的所有邊都不內交； 線段和多邊形交於線段的兩端點並不會影響線段是否在多邊形內；但是如果多邊形 的某個頂點和線段相交，還必須判斷兩相鄰交點之間的線段是否包含與多邊形內部。 因此我們可以先求出所有和線段相交的多邊形的頂點，然後按照X-Y座標排序，這樣 相鄰的兩個點就是在線段上相鄰的兩交點，如果任意相鄰兩點的中點也在多邊形內， 則該線段一定在多邊形內。證明如下： 命題1： 如果線段和多邊形的兩相鄰交點P1 ，P2的中點P' 也在多邊形內，則P1, P2之間的 所有點都在多邊形內。 證明： 假設P1,P2之間含有不在多邊形內的點，不妨設該點爲Q，在P1, P'之間，因爲多邊 形是閉合曲線，所以其內外部之間有界，而P1屬於多邊行內部，Q屬於多邊性外部， P'屬於多邊性內部，P1-Q-P'完全連續，所以P1Q和QP'一定跨越多邊形的邊界，因此 在P1,P'之間至少還有兩個該線段和多邊形的交點，這和P1P2是相鄰兩交點矛盾，故 命題成立。證畢 由命題1直接可得出推論： 推論2： 設多邊形和線段PQ的交點依次爲P1,P2,……Pn，其中Pi和Pi+1是相鄰兩交點，線段 PQ在多邊形內的充要條件是：P，Q在多邊形內且對於i =1, 2,……, n-1，Pi ,Pi+1 的中點也在多邊形內。 在實際編程中，沒有必要計算所有的交點，首先應判斷線段和多邊形的邊是否內交 ，倘若線段和多邊形的某條邊內交則線段一定在多邊形外；如果線段和多邊形的每 一條邊都不內交，則線段和多邊形的交點一定是線段的端點或者多邊形的頂點，只 要判斷點是否在線段上就可以了。 至此我們得出算法如下： 1. if 線端PQ的端點不都在多邊形內 2. then return false; 3. 點集pointSet初始化爲空; 4. for 多邊形的每條邊s 5. do if 線段的某個端點在s上 6. then 將該端點加入pointSet; 7. else if s的某個端點在線段PQ上 8. then 將該端點加入pointSet; 9. else if s和線段PQ相交 // 這時候可以肯定是內交 10. then return false; 11. 將pointSet中的點按照X-Y座標排序，X座標小的排在前面， 對於X座標相同的點，Y座標小的排在前面； 12. for pointSet中每兩個相鄰點 pointSet , pointSet[ i+1] 13. do if pointSet , pointSet[ i+1] 的中點不在多邊形中 14. then return false; 15. return true; 這個算法的複雜度也是O(n)。其中的排序因爲交點數目肯定遠小於多邊形的頂點數 目n，所以最多是常數級的複雜度，幾乎可以忽略不計。

另判斷點是否在多邊形內：

http://www.cppblog.com/w2001/archive/2008/09/23/31694.html

1. 叉乘判別法（只適用於凸多邊形） 想象一個凸多邊形，其每一個邊都將整個2D屏幕劃分成爲左右兩邊，連接每一邊的第一個端點和要測試的點得到一個矢量v，將兩個2維矢量擴展成3維的，然後將該邊與v叉乘，判斷結果3維矢量中Z分量的符號是否發生變化，進而推導出點是否處於凸多邊形內外。這裏要注意的是，多邊形頂點究竟是左手序還是右手序，這對具體判斷方式有影響。 2. 面積判別法（只適用於凸多邊形） 第四點分別與三角形的兩個點組成的面積分別設爲S1,S2,S3，只要S1+S2+S3>原來的三角形面積就不在三角形範圍中.可以使用海倫公式 。推廣一下是否可以得到面向凸多邊形的算法？（不確定） 3. 角度和判別法（適用於任意多邊形） double angle = 0; realPointList::iterator iter1 = points.begin(); for (realPointList::iterator iter2 = (iter1 + 1); iter2 < points.end(); ++iter1, ++iter2) { double x1 = (*iter1).x - p.x; double y1 = (*iter1).y - p.y; double x2 = (*iter2).x - p.x; double y2 = (*iter2).y - p.y; angle += angle2D(x1, y1, x2, y2); } if (fabs(angle - span::PI2) < 0.01) return true; else return false; 另外，可以使用bounding box來加速。 if (p.x < (*iter)->boundingBox.left || p.x > (*iter)->boundingBox.right || p.y < (*iter)->boundingBox.bottom || p.y > (*iter)->boundingBox.top) 。。。。。。 對於多邊形來說，計算bounding box非常的簡單。只需要把水平和垂直方向上的最大最小值找出來就可以了。 對於三角形：第四點分別與三角形的兩個點的交線組成的角度分別設爲j1,j2,j3，只要j1+j2+j3>360就不在三角形範圍中。 4. 水平/垂直交叉點數判別法（適用於任意多邊形） 注意到如果從P作水平向左的射線的話，如果P在多邊形內部，那麼這條射線與多邊形的交點必爲奇數，如果P在多邊形外部，則交點個數必爲偶數（0也在內）。所以，我們可以順序考慮多邊形的每條邊，求出交點的總個數。還有一些特殊情況要考慮。假如考慮邊(P1,P2)， 1)如果射線正好穿過P1或者P2,那麼這個交點會被算作2次，處理辦法是如果P的從座標與P1,P2中較小的縱座標相同，則直接忽略這種情況 2)如果射線水平，則射線要麼與其無交點，要麼有無數個，這種情況也直接忽略。 3)如果射線豎直，而P0的橫座標小於P1,P2的橫座標，則必然相交。 4)再判斷相交之前，先判斷P是否在邊(P1,P2)的上面，如果在，則直接得出結論：P再多邊形內部。

 

代碼：

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<math.h> #define Max(x,y) (x>y?x:y) #define Min(x,y) (x>y?y:x) #define Mid(x,y) ((x+y)*0.5) #define M 32 const double inf=10e12; const double eps=1e-8; const double Pi=acos(-1); typedef struct talP{ double x,y; }Point; Point p[M]; double dis[M][M]; int n; int tmp[M]; int tn; double Dis(Point p,Point q) { p.x-=q.x,p.y-=q.y; return sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y); } double XMulti(Point p,Point q,Point o) { return (p.x-o.x)*(q.y-o.y)-(p.y-o.y)*(q.x-o.x); } bool PInLine(Point t,Point p,Point q) { return t.x>=Min(p.x,q.x)&&t.x<=Max(p.x,q.x) &&t.y>=Min(p.y,q.y)&&t.y<=Max(p.y,q.y); } int Cmp(const void *a,const void *b) { return *(int *)a-*(int *)b; } int TCmp(double x) { return (x>eps)-(x<-eps); } bool InConv(Point o) { int i,l,r; double x1,x2,y1,y2; double tmp,angl=0; for(i=1;i<=n;i++){ l=i;r=i%n+1; x1=p[l].x-o.x; y1=p[l].y-o.y; x2=p[r].x-o.x; y2=p[r].y-o.y; if(TCmp(x1*y2-x2*y1)==0 &&o.x>=Min(p[l].x,p[r].x)&&o.x<=Max(p[l].x,p[r].x) &&o.y>=Min(p[l].y,p[r].y)&&o.y<=Max(p[l].y,p[r].y)) return false; } for(i=1;i<=n;i++){ l=i;r=i%n+1; x1=p[l].x-o.x; y1=p[l].y-o.y; x2=p[r].x-o.x; y2=p[r].y-o.y; tmp=(x1*x2+y1*y2)/Dis(p[l],o)/Dis(p[r],o); angl+=TCmp(x1*y2-x2*y1)*acos(tmp); } return (fabs(angl)>2*Pi-eps); } bool SegCross(int f,int t) { int l,r,i; Point c; double r1,r2,r3,r4; tn=0; for(i=1;i<=n;i++){ l=i,r=i%n+1; r1=XMulti(p[l],p[f],p[t]); r2=XMulti(p[r],p[f],p[t]); r3=XMulti(p[f],p[r],p[l]); r4=XMulti(p[t],p[r],p[l]); if(r1*r2<0&&r3*r4<0) return true; if(r1==0&&PInLine(p[l],p[f],p[t])) tmp[tn++]=l; if(r2==0&&PInLine(p[r],p[f],p[t])) tmp[tn++]=r; } qsort(tmp,tn,sizeof(tmp[0]),Cmp); tmp[tn]=tmp[0]; for(i=0;i<tn;i++){ if(tmp[i]==tmp[i+1]) continue; c.x=Mid(p[tmp[i]].x,p[tmp[i+1]].x); c.y=Mid(p[tmp[i]].y,p[tmp[i+1]].y); if(InConv(c)) return true; } return false; } void Init() { int i,j; for(i=0;i<=n+1;i++){ for(j=0;j<=n+1;j++) dis[i][j]=inf; } for(i=0;i<=n+1;i++) dis[i][i]=0; for(i=0;i<=n;i++){ for(j=i+1;j<=n+1;j++){ if(!SegCross(i,j)) dis[i][j]=dis[j][i]=Dis(p[i],p[j]); } } } void Floyd() { int i,j,k; for(k=0;k<=n+1;k++){ for(i=0;i<=n+1;i++){ if(dis[i][k]==inf||i==k) continue; for(j=0;j<=n+1;j++){ if(i==j||dis[k][j]==inf) continue; if(dis[i][j]-dis[k][j]>dis[i][k]) dis[i][j]=dis[k][j]+dis[i][k]; } } } } int main() { int i; scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y); scanf("%lf%lf%lf%lf",&p[0].x,&p[0].y,&p[n+1].x,&p[n+1].y); Init(); Floyd(); printf("%.3f/n",dis[0][n+1]); return 0; }