星際轉移問題 |
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由於人類對自然資源的消耗，人們意識到大約在2300 年之後，地球就不能再居住了。於是在月球上建立了新的綠地，以便在需要時移民。令人意想不到的是，2177 年冬由於未知的原因，地球環境發生了連鎖崩潰，人類必須在最短的時間內遷往月球。現有n個太空站位於地球與月球之間，且有m 艘公共交通太空船在其間來回穿梭。每個太空站可容納無限多的人，而每艘太空船i 只可容納H[i]個人。每艘太空船將週期性地停靠一系列的太空站，
例如：(1，3，4)表示該太空船將週期性地停靠太空站134134134…。每一艘太空船從一個太空站駛往任一太空站耗時均爲1。人們只能在太空船停靠太空站(或月球、地球)時上、下船。初始時所有人全在地球上，太空船全在初始站。試設計一個算法，找出讓所有人儘快地全部轉移到月球上的運輸方案。
對於給定的太空船的信息，找到讓所有人儘快地全部轉移到月球上的運輸方案。
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多組數據輸入.
每組輸入第1行有3 個正整數n（太空站個數），m（太空船個數）和k（需要運送的地球上的人的個數）。其中 1<=m<=13, 1<=n<=20, 1<=k<=50。接下來的m行給出太空船的信息。第i+1 行說明太空船pi。第1 個數表示pi 可容納的人數Hpi；第2 個數表示pi 一個週期停靠的太空站個數r，1<=r<=n+2；隨後r 個數是停靠的太空站的編號(Si1,Si2,…,Sir)，地球用0 表示，月球用-1 表示。時刻0 時，所有太空船都在初始站，然後開始運行。在時刻1，2，3…等正點時刻各艘太空船停靠相應的太空站。人只有在0,1,2…等正點時刻才能上下太空船。
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每組輸出全部人員安全轉移所需的時間,如果問題無解，則輸出0。
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2 2 1
1 3 0 1 2
1 3 1 2 -1
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5
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首先判斷從地球到月球是否存在一條路線，如果不存在那麼無解，否則把每個太空站按照每天拆分成d 個點，<i,d>表示第i
個站第d 天。建立附加源S 匯T，順序枚舉答案Day。
1、對於第Day 天，從S 到<0,Day>連接一條容量爲無窮大的有向邊。
2、從<-1,Day>到T 連接一條容量爲無窮大的有向邊。
3、對於第i 個太空船，設第Day-1天在a 處，第Day 天在b 處，從<a,Day-1>到<b,Day>連接一條容量爲該太空船容量的有
向邊。
4、對於第i 個太空站，從<i,Day-1>到<i,Day>連接一條容量爲無窮大的有向邊。
5、求當前網絡最大流，如果最大流量大於等於地球上人數K，停止枚舉，當前Day 值就是答案。
建模分析:
我們把網絡優化問題轉化爲枚舉答案+可行性判定問題。枚舉天數，按天數把圖分層，因爲乘船每坐一站天數都要增加一，把
太空船航線抽象成圖中的一條邊，跨圖的兩層。由於太空船容量有限，邊上也要加上容量限制。除了坐船以外，人還可以在某個
空間站等待下一班太空船的到來，所以每個點要與下一層同一點連接一條容量爲無窮的邊。這樣在層限制的圖上求出的網絡最大
流就是在當前天數以內能夠從地面到月球的最多的人數，該人數隨天數遞增不遞減，存在單調性。所以可以枚舉答案或二分答案，
用網絡流判定。網絡流判定問題更適合枚舉答案，而不是二分，因爲新增一些點和邊只需要在原有的基礎上增廣，不必重新求網
絡流。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int oo=1e4;
const int mm=1111111;
const int mn=9999;
int node,src,dest,edge;
int ver[mm],flow[mm],next[mm];
int head[mn],work[mn],dis[mn],q[mn];
int n,m;
int P(int vi ,int ti){
return ti * (n + 2) + vi + 1;
}
void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
node=_node,src=_src,dest=_dest;
for(int i=0;i<node;i++) head[i]=-1;
edge=0;
}
void addedge(int u,int v,int c)
{
ver[edge]=v;flow[edge]=c;next[edge]=head[u];head[u]=edge++;
ver[edge]=u;flow[edge]=0;next[edge]=head[v];head[v]=edge++;
}
bool Dinic_bfs()
{
int i,u,v,l,r=0;
for(i=0;i<node;i++)
dis[i]=-1;
dis[q[r++]=src]=0;
for(l=0;l<r;l++)
for(i=head[u=q[l]];i>=0;i=next[i])
if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]<0)
{
dis[q[r++]=v]=dis[u]+1;
if(v==dest) return 1;
}
return 0;
}
int Dinic_dfs(int u,int exp)
{
if(u==dest) return exp;
for(int &i=work[u],v,tmp;i>=0;i=next[i])
{
if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]==dis[u]+1&&(tmp=Dinic_dfs(v,min(exp,flow[i])))>0)
{
flow[i]-=tmp;
flow[i^1]+=tmp;
// cout<<"u="<<u<<" v="<<v<<" tmp="<<tmp<<endl;
return tmp;
}
}
return 0;
}
int Dinic_flow()
{
int i,ret=0,delta;
while(Dinic_bfs())
{
for(i=0;i<node;i++)
work[i]=head[i];
while(delta=Dinic_dfs(src,oo)) {ret+=delta;}
}
return ret;
}
int main()
{
int k,i,j,tmp,ans;
int hp[110],r[110],rr[110][110];
while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k))
{
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d",&hp[i]);
scanf("%d",&r[i]);
for(j=0;j<r[i];j++){
scanf("%d",&rr[i][j]);
if(rr[i][j]==-1) rr[i][j]=n+1;
}
}
int S=oo-3;
int T=S+1;
prepare(mn,S,T);
ans=0;
addedge(S,P(0,0),oo);
addedge(P(n+1,0),T,oo);
for(i=1,ans=0;ans<k&&i<365;i++)
{
addedge(S,P(0,i),oo);addedge(P(n+1,i),T,oo);
for(j=0;j<n+2;j++)
addedge(P(j,i-1),P(j,i),oo);
for(j=0;j<m;j++)
{
int u=rr[j][(i-1)%r[j]];
int v=rr[j][i%r[j]];
addedge(P(u,i-1),P(v,i),hp[j]);
// cout<<"u="<<P(u,i-1)<<" v="<<P(v,i)<<" hp="<<hp[j]<<endl;
}
ans+=Dinic_flow();//cout<<"ans="<<ans<<endl;
}
if(i<365)
printf("%d\n",i-1);
else
printf("0\n");
}
return 0;
}