數字梯形問題 |
||
|
||
description |
||
給定一個由n 行數字組成的數字梯形如下圖所示。梯形的第一行有m 個數字。從梯形的頂部的m 個數字開始，在每個數字處可以沿左下或右下方向移動，形成一條從梯形的頂至底的路徑。
規則1：從梯形的頂至底的m條路徑互不相交。
規則2：從梯形的頂至底的m條路徑僅在數字結點處相交。
規則3：從梯形的頂至底的m條路徑允許在數字結點相交或邊相交。
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1
對於給定的數字梯形，分別按照規則1，規則2，和規則3 計算出從梯形的頂至底的m條路徑，使這m條路徑經過的數字總和最大。
|
||
input |
||
多組數據輸入.
每組輸入第1 行中有2個正整數m和n（m,n<=20），分別表示數字梯形的第一行有m個數字，共有n 行。接下來的n 行是數字梯形中各行的數字。第1 行有m個數字，第2 行有m+1 個數字，…。
|
||
output |
||
每組輸出規則1，規則2，和規則3 計算出的最大數字總和,每行一個最大總和。
|
||
sample_input |
||
2 5
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1
|
||
sample_output |
||
66
75
77
|
求圖的最大權不相交路徑及其變種，用費用最大流解決。
【建模方法】
規則(1)
把梯形中每個位置抽象爲兩個點<i.a>,<i.b>，建立附加源S匯T。
1、對於每個點i從<i.a>到<i.b>連接一條容量爲1，費用爲點i權值的有向邊。
2、從S向梯形頂層每個<i.a>連一條容量爲1，費用爲0的有向邊。
3、從梯形底層每個<i.b>向T連一條容量爲1，費用爲0的有向邊。
4、對於每個點i和下面的兩個點j，分別連一條從<i.b>到<j.a>容量爲1，費用爲0的有向邊。
求最大費用最大流，費用流值就是結果。
規則(2)
把梯形中每個位置看做一個點i，建立附加源S匯T。
1、從S向梯形頂層每個i連一條容量爲1，費用爲0的有向邊。
2、從梯形底層每個i向T連一條容量爲無窮大，費用爲i的權值的有向邊。
3、對於每個點i和下面的兩個點j，分別連一條從i到j容量爲1，費用爲點i權值的有向邊。
求最大費用最大流，費用流值就是結果。
規則(3)
把梯形中每個位置看做一個點i，建立附加源S匯T。
1、從S向梯形頂層每個i連一條容量爲1，費用爲0的有向邊。
2、從梯形底層每個i向T連一條容量爲無窮大，費用爲i的權值的有向邊。
3、對於每個點i和下面的兩個點j，分別連一條從i到j容量爲無窮大，費用爲點i權值的有向邊。
求最大費用最大流，費用流值就是結果。
【建模分析】
對於規則1，要求路徑完全不相交，也就是每個點最多隻能被訪問了一次，所以要把點拆分，之間連接容量爲1的邊。因爲任意一條ST之間的路徑都是一個解，在
拆分的點內部的邊費用設爲點的權值，求最大費用最大流就是費用最大的m條路經。
對於規則2，要求路徑可以相交，但不能有重疊，此時可以不必拆點了。爲了保證路徑沒有重疊，需要在相鄰的兩個點上限制流量爲1，由於頂層的每個點只能用1
次，S向頂層點流量限制也爲1。費用只需設在相鄰點的邊上，求最大費用最大流即可。
對於規則3，要求路徑除了頂層每個點以外可以任意相交重疊。在規則2的基礎上，取消除S到頂層頂點之間的邊以外所有邊的流量限制即可。
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int oo=1e7;
const int mm=111111;
const int mn=8888;
int node,src,dest,edge;
int ver[mm],flow[mm],cost[mm],next[mm];
int head[mn],dis[mn],p[mn],q[mn],vis[mn],work[mn];
int g[mn][mn],mapp[mn][mn];
void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
node=_node,src=_src,dest=_dest;
for(int i=0;i<node;++i)head[i]=-1,vis[i]=0;
edge=0;
}
void addedge(int u,int v,int f,int c)
{
ver[edge]=v,flow[edge]=f,cost[edge]=c,next[edge]=head[u],head[u]=edge++;
ver[edge]=u,flow[edge]=0,cost[edge]=-c,next[edge]=head[v],head[v]=edge++;
}
bool spfa()
{
int i,u,v,l,r=0,tmp;
for(i=0;i<node;i++) dis[i]=-oo;
dis[q[r++]=src]=0;
p[src]=p[dest]=-1;
for(l=0;l!=r;(++l>=mn)?l=0:l)
for(i=head[u=q[l]],vis[u]=0;i>=0;i=next[i])
if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]<(tmp=dis[u]+cost[i]))
{
dis[v]=tmp;//cout<<"u="<<u<<" v="<<v<<" tmp="<<tmp<<endl;
p[v]=i^1;
if(vis[v]) continue;
vis[q[r++]=v]=1;
if(r>=mn) r=0;
}
return p[dest]>-1;
}
int Spfaflow()
{
int i,ret=0,delta;
while(spfa())
{
for(i=p[dest],delta=oo;i>=0;i=p[ver[i]])
if(flow[i^1]<delta) delta=flow[i^1];
for(i=p[dest];i>=0;i=p[ver[i]])
flow[i]+=delta,flow[i^1]-=delta;
ret+=delta*dis[dest];//cout<<"ret="<<ret<<endl;
}
return ret;
}
int main()
{
int n,m,i,j,a,ans,tmp,t;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
tmp=0;
for(i=1;i<=m;i++)
tmp=tmp+n+i-1;
prepare(tmp+tmp+2,0,tmp+tmp+1);
t=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n+i-1;j++)
{
scanf("%d",&a);
mapp[i][j]=a;
if(i==1)
{
addedge(src,t+1,1,0);
}
g[i][j]=++t;
int from=t;
int to=++t;
addedge(from,to,1,a);
if(i==m)
{
addedge(to,dest,1,0);
}
}
}
for(i=1;i<m;i++)
{
for(j=1;j<=n+i-1;j++)
{
int from=g[i][j]+1;
int to=g[i+1][j];
addedge(from,to,1,0);
to=g[i+1][j+1];
addedge(from,to,1,0);
}
}
printf("%d\n",Spfaflow());
t=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n+i-1;j++)
{
g[i][j]=++t;
}
}
prepare(t+2,0,t+1);
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n+i-1;j++)
{
if(i==1)
addedge(src,g[i][j],1,0);
if(i!=m)
{
addedge(g[i][j],g[i+1][j],1,mapp[i][j]);
addedge(g[i][j],g[i+1][j+1],1,mapp[i][j]);
}
else
addedge(g[i][j],dest,oo,mapp[i][j]);
}
}
printf("%d\n",Spfaflow());
prepare(t+2,0,t+1);
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n+i-1;j++)
{
if(i==1)
addedge(src,g[i][j],1,0);
if(i!=m)
{
addedge(g[i][j],g[i+1][j],oo,mapp[i][j]);
addedge(g[i][j],g[i+1][j+1],oo,mapp[i][j]);
}
else
addedge(g[i][j],dest,oo,mapp[i][j]);
}
}
printf("%d\n",Spfaflow());
}
return 0;
}