計算機排序算法

在計算機科學與數學中，一個排序算法（Sorting algorithm）是一種能將一串數據依照特定排序方式的一種算法。最常用到的排序方式是數值順序以及字典順序。有效的排序算法在一些算法（例如搜索算法與合併算法）中是重要的，如此這些算法才能得到正確解答。排序算法也用在處理文字數據以及產生人類可讀的輸出結果。基本上，排序算法的輸出必須遵守下列兩個原則：

輸出結果爲遞增串行（遞增是針對所需的排序順序而言）
輸出結果是原輸入的一種排列、或是重組

雖然排序算法是一個簡單的問題，但是從計算機科學發展以來，在此問題上已經有大量的研究。舉例而言，冒泡排序在1956年就已經被研究。雖然大部分人認爲這是一個已經被解決的問題，有用的新算法仍在不斷的被髮明。（例子：圖書館排序在2004年被髮表）

分類

在計算機科學所使用的排序算法通常被分類爲：

計算的複雜度（最差、平均、和最好性能），依據列表（list）的大小（n）。一般而言，好的性能是O(n log n)，且壞的性能是O(n²)。對於一個排序理想的性能是O(n)。僅使用一個抽象關鍵比較運算的排序算法總平均上總是至少需要O(n log n)。
存儲器使用量（以及其他電腦資源的使用）
穩定度：穩定排序算法會依照相等的關鍵（換言之就是值）維持紀錄的相對次序。也就是一個排序算法是穩定的，就是當有兩個有相等關鍵的紀錄R和S，且在原本的列表中R出現在S之前，在排序過的列表中R也將會是在S之前。
一般的方法：插入、交換、選擇、合併等等。交換排序包含冒泡排序和快速排序。選擇排序包含希爾排序和堆排序。

穩定度

當相等的元素是無法分辨的，比如像是整數，穩定度並不是一個問題。然而，假設以下的數對將要以他們的第一個數字來排序。

(4, 1)  (3, 1)  (3, 7)  (5, 6)

在這個狀況下，有可能產生兩種不同的結果，一個是依照相等的鍵值維持相對的次序，而另外一個則沒有：

(3, 1)  (3, 7)  (4, 1)  (5, 6)   (維持次序)
(3, 7)  (3, 1)  (4, 1)  (5, 6)   (次序被改變)

不穩定排序算法可能會在相等的鍵值中改變紀錄的相對次序，但是穩定排序算法從來不會如此。不穩定排序算法可以被特別地實現爲穩定。作這件事情的一個方式是人工擴充鍵值的比較，如此在其他方面相同鍵值的兩個對象間之比較，（比如上面的比較中加入第二個標準：第二個鍵值的大小）就會被決定使用在原先數據次序中的條目，當作一個同分決賽。然而，要記住這種次序通常牽涉到額外的空間負擔。

排列算法列表

在這個表格中，n是要被排序的紀錄數量以及k是不同鍵值的數量。

穩定的

冒泡排序（bubble sort） — O(n²)
雞尾酒排序 (Cocktail sort, 雙向的冒泡排序) — O(n²)
插入排序（insertion sort）— O(n²)
桶排序（bucket sort）— O(n); 需要 O(k) 額外空間
計數排序 (counting sort) — O(n+k); 需要 O(n+k) 額外空間
合併排序（merge sort）— O(n log n); 需要 O(n) 額外空間
原地合併排序 — O(n²)
二叉排序樹排序（Binary tree sort） — O(n log n)期望時間; O(n²)最壞時間; 需要 O(n) 額外空間
鴿巢排序 (Pigeonhole sort) — O(n+k); 需要 O(k) 額外空間
基數排序（radix sort）— O(n·k); 需要 O(n) 額外空間
Gnome 排序 — O(n²)
圖書館排序 — O(n log n) with high probability, 需要 (1+ε)n 額外空間

不穩定

選擇排序（selection sort）— O(n²)
希爾排序（shell sort）— O(n log n) 如果使用最佳的現在版本
組合排序 — O(n log n)
堆排序（heapsort）— O(n log n)
平滑排序 — O(n log n)
快速排序（quicksort）— O(n log n) 期望時間, O(n²) 最壞情況; 對於大的、亂數列表一般相信是最快的已知排序
Introsort — O(n log n)
Patience sorting — O(n log n + k) 最壞情況時間，需要額外的 O(n + k) 空間，也需要找到最長的遞增子串行（longest increasing subsequence）

不實用的排序算法

Bogo排序 — O(n × n!)，最壞的情況下期望時間爲無窮。
Stupid sort — O(n³); 遞歸版本需要 O(n²) 額外存儲器
珠排序（Bead sort） — O(n) or O(√n), 但需要特別的硬件
Pancake sorting — O(n), 但需要特別的硬件
[Stooge排序] 算法簡單，但需要約n^2.7的時間

平均時間複雜度

平均時間複雜度由高到低爲：

冒泡排序 O(n²)
插入排序 O(n²)
選擇排序 O(n²)
歸併排序 O(n log n)
堆排序 O(n log n)
快速排序 O(n log n)
希爾排序 O(n^1.25)
基數排序 O(n)

說明：雖然完全逆序的情況下，快速排序會降到選擇排序的速度，不過從概率角度來說(參考信息學理論，和概率學)，不對算法做編程上優化時，快速排序的平均速度比堆排序要快一些。

簡要比較

名稱	數據對象	穩定性	時間複雜度		空間複雜度	描述
名稱	數據對象	穩定性	平均	最壞	空間複雜度	描述
插入排序	數組、鏈表		$O(n^2)$		$O(1)$	(有序區,無序區)。把無序區的第一個元素插入到有序區的合適的位置。對數組：比較得少，換得多。
直接選擇排序	數組		$O(n^2)$		$O(1)$	(有序區,無序區)。在無序區裏找一個最小的元素跟在有序區的後面。對數組：比較得多，換得少。
直接選擇排序	鏈表		$O(n^2)$		$O(1)$	(有序區,無序區)。在無序區裏找一個最小的元素跟在有序區的後面。對數組：比較得多，換得少。
堆排序	數組		$O(nlogn)$		$O(1)$	(最大堆,有序區)。從堆頂把根卸出來放在有序區之前，再恢復堆。
歸併排序	數組、鏈表		$O(nlogn)$		$O(n) +O(logn)$ ，如果不是從下到上	把數據分爲兩段，從兩段中逐個選最小的元素移入新數據段的末尾。可從上到下或從下到上進行。
快速排序	數組		$O(nlogn)$	$O(n^2)$	$O(logn) ,O(n)$	(小數,樞紐元,大數)。
Accum qsort	鏈表		$O(nlogn)$	$O(n^2)$	$O(logn) ,O(n)$	(無序區,有序區)。把無序區分爲(小數,樞紐元,大數)，從後到前壓入有序區。

決策樹排序			$O(logn!)$		$O(n!)$	O(n) <O(logn!) <O(nlogn)

計數排序	數組、鏈表		$O(n)$		$O(n+m)$	統計小於等於該元素值的元素的個數 i，於是該元素就放在目標數組的索引 i位。(i≥0)
桶排序	數組、鏈表		$O(n)$		$O(m)$	將值爲 i 的元素放入i 號桶，最後依次把桶裏的元素倒出來。
基數排序	數組、鏈表		$O(k*n)$ ,最壞: $O(n^2)$			一種多關鍵字的排序算法，可用桶排序實現。