題意:
給定一個至多20*100000的01矩陣,可以選擇任意行或列,選擇行或列的01值改變,問經過操作能到最少的含1的數量。
思路:
因爲行最大爲20,考慮將每一列壓縮成一個20位的整數,選擇的行也最多隻有20,同樣壓縮到一個20位的整數。
改變行上的01值,對應的操作爲異或,那麼就能寫出對應的卷積式:
根據異或運算的性質,可以交換j,k的位置,得到:
C[k] : 選擇操作的行的集合爲k的最少含1數量
A[i]: 列上數值爲 i 的個數
B[j]: 數 j 的最少含1個數
這就是一個標準的可以用FWT進行加速的卷積運算了
代碼:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void FWT(long long a[],int l,int on){
for(int d=1;d<l;d<<=1){
for(int m=d<<1,i=0;i<l;i+=m){
for(int j=0;j<d;j++){
long long x = a[i+j],y=a[i+j+d];
a[i+j]=x+y;
a[i+j+d]=x-y;
if(on<0){
a[i+j]>>=1;
a[i+j+d]>>=1;
}
}
}
}
}
int n,m;
char str[100005];
int A[100005];
long long num[1<<21];
long long B[1<<21];
long long C[1<<21];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
long long ans = n * m;
for(int i=1,x;i<=n;i++){
scanf("%s",str+1);
for(int j=1;j<=m;j++){
x = str[j]-'0';
A[j] = (A[j]<<1) + x ;
}
}for(int i=1;i<=m;i++){
num[A[i]]++;
}int l = (1<<n);
for(int i=0;i<l;i++){
B[i] = B[i>>1] + (i&1);
C[i] = min(B[i],n-B[i]);
}FWT(num,l,1);FWT(C,l,1);
for(int i=0;i<l;i++){
C[i] = C[i] * num[i];
}FWT(C,l,-1);
for(int i=0;i<l;i++){
ans = min(ans,C[i]);
}printf("%I64d\n",ans);
return 0;
}