LeetCode 64. Minimum Path Sum（最小路徑和）

題目描述：

    Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.
    Note: You can only move either down or right at any point in time.

例子：

[[1,3,1],
 [1,5,1],
 [4,2,1]]

    Given the above grid map, return 7. Because the path 1→3→1→1→1 minimizes the sum.

分析：
    題意：給定一個m x n 二維地圖（每個元素代表一個非負整型數），左上角爲起點、右下角爲終點，只能往下、往右走。返回最小路徑和的值。
    思路：這道題採用動態規劃的方法：我們構造數組dp[m][n]，dp[i][j]表示從位置(0, 0)到達位置(i, j)的最小路徑和。初始化各元素值爲0（其中dp[0][0] = 1，dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0](i∈1→m - 1)，dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j](j∈1→n - 1)），那麼對於位置(i, j)，根據題意，只能從其上方或者左側移動過來兩種可能，我們選擇較小值。因此狀態轉移方程爲：
        dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]。
    時間複雜度爲O(m * n)。

代碼：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        // Exceptional Case: 
		if(grid.empty()){
			return 0;
		}
		int m = grid.size(), n = grid[0].size();
		// create
		vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
		// init
		dp[0][0] = grid[0][0];
		for(int i = 1; i <= n - 1; i++){
			dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
		}
		for(int i = 1; i <= m - 1; i++){
			dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
		}
		// dp
		for(int i = 1; i <= m - 1; i++){
			for(int j = 1; j <= n - 1; j++){
				dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
			}
		}
		return dp[m - 1][n - 1];
    }
};