堆排序詳解

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博主：帶魚兄
文章：堆排序詳解
博文地址：https://blog.csdn.net/daiyudong2020/article/details/52529791

基本概念：

要了解堆排序，首先要了解什麼是堆，

要了解堆，還要先了解什麼是完全二叉樹。

一、什麼是完全二叉樹？

完全二叉樹（complete binary tree）有嚴格的形狀要求：從根節點起每一層從左到右填充。一棵高度爲d的完全二叉樹除了d-1層以外，每一層都是滿的。底層葉節點集中在左邊的若干位置上。完全二叉樹如下圖：

二、什麼是堆？

堆實際上是一棵完全二叉樹，其任何一非葉節點滿足性質：
a)任何一非葉節點的關鍵字不大於其左右孩子節點的關鍵字,稱之爲最小堆。
b)任何一非葉節點的關鍵字不小於其左右孩子節點的關鍵字,稱之爲最大堆。
由上述性質可知：
a)最大堆的堆頂的關鍵字是所有關鍵字中最大的。
b)最小堆的堆頂的關鍵字是所有關鍵字中最小的。

通常堆是通過一維數組來實現的，在起始位置爲0的情形中：
父節點i的左子節點在位置(2*i+1);
父節點i的右子節點在位置(2*i+2);
子節點i的父節點在位置floor((i-1)/2);

一個最大堆如圖：

三、完全二叉樹怎麼演變成一個堆？

給定一個整形數組a[]={7,4,2,9,8,5}，首先將數組視爲一個完全二叉樹，對其進行轉換成一個堆，構造初始堆是對所有的非葉節點都進行調整，從最後一個非葉節點開始調整，使其滿足堆的特性。

第一步，將數組視爲一個完全二叉樹：

第二步，將完全二叉樹轉換成一個堆：

最後得到一個最大堆：

四、如何使用堆進行排序？

基於以上堆相關的操作，我們可以很容易的定義堆排序。例如，假設我們已經讀入一系列數據並創建了一個堆，一個最直觀的算法就是反覆的調用del_max()函數，因爲該函數總是能夠返回堆中最大的值，然後把它從堆中刪除，從而對這一系列返回值的輸出就得到了該序列的降序排列。所以，堆排序，最重要的兩個操作就是構造初始堆和調整堆。

堆排序的過程是：
(1)建立一個堆H[0..n-1]。
(2)把堆首（最大值）和堆尾互換。
(3)把堆的尺寸縮小1，然後調整堆，目的構成新的堆。
(4)重複步驟2，直到堆的尺寸爲1。

平均時間複雜度O(nlogn)

動態圖：

下面展示如何將一個數組a[]={7,4,2,9,8,5}構建成堆進行排序：

第一步：構建初始堆：

第二步，開始排序，灰色表示被移除的堆尾（已排好序）：

五、簡單例子

源碼：

#include <stdio.h>

/* 交換元素 */
void swap(int* a, int* b) {
    int temp = *b;
    *b = *a;
    *a = temp;
}

/* 調整堆 */
void max_heapify(int arr[], int start, int end) {
    //建立父節點下標和子節點下標
    int dad = start;
    int son = dad * 2 + 1;
    while (son <= end) { //若子節點下標在範圍內才做比較
        if (son + 1 <= end && arr[son] < arr[son + 1]) //先比較兩個子節點大小，選擇最大的
            son++;
        if (arr[dad] > arr[son]) //如果父節點大於子節點代表調整完畢，直接跳出函數
            return;
        else { //否則交換父子內容再繼續子節點和孫節點比較
            swap(&arr[dad], &arr[son]);
            dad = son;
            son = dad * 2 + 1;
        }
    }
}

/* 堆排序 */
void heap_sort(int arr[], int len) {
    int i;
    //初始化堆，i從最後一個父節點開始調整
    for (i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)
        max_heapify(arr, i, len - 1);
    
    //先將第一個元素和已排好元素前一位做交換，再從新調整，直到排序完畢
    for (i = len - 1; i > 0; i--) {
        swap(&arr[0], &arr[i]);
        max_heapify(arr, 0, i - 1);
    }
}

int main() {
    int arr[] = {7, 4, 2, 9, 8, 5};
    int len = sizeof(arr) / sizeof(int);
    
    /* sort */
    heap_sort(arr, len);
    
    /* print */
    int i;
    for (i = 0; i < len; i++)
        printf("%d ", arr[i]);
    printf("\n");

    return 0;
}

編譯運行：

原文出自：http://blog.csdn.net/daiyudong2020/article/details/52529791

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