給定正整數 N, M，將 N 分解爲若干個正整數 A1, A2, ..., Ak，使得：
- 0 < A1 < A2 < ... < Ak
- A1 + A2 + ... + Ak = N
- A1 * A2 * ... * Ak MOD M = 0
求一共有多少種不同的分解方案。
算法分析
暴力的求解方法由於本題給定的 N, M 均很小，因此我們先考慮如何暴力求解，直接用遞歸來對答案進行搜索：
DFS(N,M,Last,Sum,Mul)
If (Sum == N)
If (Mul MOD M == 0) Then
Return 1
Else
Return 0
End
Else
Cnt = 0
For i = Last + 1 .. N - Sum // A_i > A_i-1
Cnt = Cnt + DFS(N, M, i, Sum + i, Mul * i)
End For
Return Cnt
End If
Sum表示已經分解出的數之和，Mul表示已經分解出的數之積，Last表示最後一個分解出的數的值。
由於本題的數據範圍爲 N ≤ 100, 而 1 + 2 + .. + 14 > 100，最大迭代層數爲14，所以暴力搜索的方法也能夠通過。
然而本題還有一個非常巧妙的定理，讓我們一起來探究一下吧。
在上面的算法中，我們總是在已經枚舉出整個方案後，再對Mul是否能夠整除 M 進行判定。那麼是否能夠在計算的過程中就進行判定呢？
假如Mul能夠整除 M，則有 gcd(Mul,
M) = M (gcd(A,B)表示 A,B 的最大公約數)。
在不斷迭代的過程中，gcd(Mul, M) 會怎樣變化呢？
假設某一時刻gcd(Mul, M) = K，則有Mul =
_P * K_, _M = Q * K_，其中 P 與 Q 互質。
當我們新分解出一個數 L ，有：
gcd(Mul*L, M) = gcd(P
* K * L, Q * K) = K * gcd(P * L, Q) ≥ K
由於 P 與 Q 互質，所以我們可以得到gcd(P
* L, Q) = gcd(L, Q)。
因此有
gcd(Mul*L, M) = K
* gcd(P * L, Q) = K * gcd(L, Q) = gcd(K
* L, K * Q) = gcd(K * L, M)
可以證明在迭代過程中gcd(Mul, M)是遞增的，並且我們可以根據gcd(Mul,M)能夠計算出gcd(Mul*L,M)。所以我們不再需要保存Mul，只需要記錄gcd(Mul,
M)即可。
因此我們將DFS可以改進爲：
DFS(N,M,Last,Sum,Gcd)
If (Sum == N)
If (Gcd == M) Then
Return 1
Else
Return 0
End
Else
Cnt = 0
For i = Last + 1 .. N - Sum
Cnt = Cnt + DFS(N, M, i, Sum + i, gcd(Gcd * i, M))
End For
Return Cnt
End If
Gcd表示當前分解數之積與 M 的最大公約數，gcd(A,B)爲求解 A,B 最大公約數的函數。
這樣的改進並不能減少我們的時間複雜度，但是我們可以發現相對於DFS(N,M,Last,Sum,Mul)，DFS(N,M,Last,Sum,Gcd)中會出現的重複狀態變多了。
在DFS(N,M,Last,Sum,Mul)和DFS(N,M,Last,Sum,Gcd)中，Last和Sum的值都在
0 .. N 範圍內，而Mul的範圍很大，Gcd的範圍只在
0 .. M。
所以我們可以使用記憶化搜索來進行優化，減少重複的計算：
DFS(N,M,Last,Sum,Gcd)
If (f[Sum][Last][Gcd] == -1) Then
If (Sum == N)
If (Gcd == M) Then
f[Sum][Last][Gcd] = 1
Else
f[Sum][Last][Gcd] = 0
End
Else
Cnt = 0
For i = Last + 1 .. N - Sum
Cnt = Cnt + DFS(N, M, i, Sum + i, gcd(Gcd * i, M))
End For
f[Sum][Last][Gcd] = Cnt
End If
End If
Return f[Sum][Last][Gcd]
f[Sum][Last][Gcd]初始化全爲-1。
此外在計算過程中，我們總是要計算gcd(Gcd * l, M)，而Gcd
* l的範圍在 0 .. 5000，因此我們可以用一個數組gcd[i]預處理出所有的gcd(i,M)。
由於f的每一個狀態只會計算一次，因此總的時間複雜度爲_O(N^3*M)_，也就能夠通過所有的數據。
記憶化搜索在很多時候是可以轉變爲動態規劃的，這道題也不例外。
根據上面記憶化搜索的程序，我們可以得到一個動態規劃的解法：
f[Sum + i][i][ gcd(Gcd * i, M) ] = f[Sum + i][i][ gcd(Gcd * i, M) ] + f[Sum][Last][Gcd];
在已經知道f[Sum][Last][Gcd]方案數的情況下，我們枚舉下一個數i來進行遞推。
初始化f數組爲0，則可以得到其解法代碼爲：
f[0][0][1] = 1;
for (i = 0; i < N; i++)
for (j = 0; j < N; j++)
for (k = 1; k <= M; k++)
if (f[i][j][k] > 0)
for (l = j + 1; l <= N - i; l++)
f[i + l][l][gcd[l * k]] = (f[i + l][l][gcd[l * k]] + f[i][j][k]) % 1000000007;
k = 0;
for (i = 1; i <= N; i++)
k = (k + f[N][i][M]) % 1000000007;
本題主要的難點在於對於Gcd(Mul, M)的推導，然而出題人給出的數據範圍太小，而使得不使用這一性質也能通過該題。
若將題目中條件從 0 < A1 < A2 < ... < Ak 改爲 0 < A1 ≤ A2 ≤ ... ≤ Ak，此題的難度會提升很多，有興趣的讀者可以試一試求解。