矩陣大家一定都很熟悉，它是線性代數中的一個術語，它在生產實踐，科研，等各學科都有不可替代的作用，求逆矩陣當然是矩陣的一種常用操作，今天就寫了個求逆矩陣的程序鞏固下基本功。
首先讓我們回憶一下你矩陣的定義：
逆矩陣：設A是數域上的一個n階方陣，若在相同數域上存在另一個n階矩陣B，使得： AB=BA=E。 則我們稱B是A的逆矩陣，而A則被稱爲可逆矩陣。
接下來我帶大家回憶一下在“線性代數”中求逆矩陣的兩種方法：
(以下方法來至維基百科)
1.伴隨矩陣法
如果矩陣
可逆，則
其中
是的伴隨矩陣。
注意：中元素的排列特點是的第
列元素是的第行元素的代數餘子式。要求得即爲求解的餘因子矩陣的轉置矩陣。
由條件
以及矩陣乘法的定義可知，矩陣和
都是方陣。再由條件
以及定理“兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積”可知，這兩個矩陣的行列式都不爲0。也就是說，這兩個矩陣的秩等於它們的級數（或稱爲階，也就是說，A與B都是
方陣，且rank(A)
= rank(B) = n）。換句話說，這兩個矩陣可以只經由初等行變換，或者只經由初等列變換，變爲單位矩陣。
因爲對矩陣施以初等行變換（初等列變換）就相當於在的左邊（右邊）乘以相應的初等矩陣，所以我們可以同時對和
施以相同的初等行變換（初等列變換）。這樣，當矩陣被變爲時，就被變爲的逆陣。
接下來讓我們來分別看看兩個實際的小題，回憶一下解法：
1.伴隨矩陣法求逆矩陣：
問題：
求解過程：
解得：
2.初等變換法：
問題：
求A的逆矩陣
求解過程：
解得：
接下來我就用第二種方法，做一下第一題，代碼如下：
public class NiMatrix {
private double[][] getNiMatrix(double[][] matrix) {//求逆矩陣函數
/*定義擴展矩陣*/
double[][] expand_matrix = new double[matrix.length][matrix.length * 2];
/*定義得到的逆矩陣*/
double[][] new_matrix = new double[matrix.length][matrix.length];
/*初始化擴展矩陣*/
initExpandMatrix(matrix,expand_matrix);
/*調整擴展矩陣，若某一列全爲0，則行列式的值等於0，不存在逆矩陣*/
boolean canAdjust = adjustMatrix(expand_matrix);
if(false == canAdjust)//如果不存在逆矩陣，返回NULL
return null;
/*計算擴展矩陣*/
calculateExpandMatrix(expand_matrix);
/*用計算過的擴展矩陣取後面的N*N矩陣，爲所求*/
getNewMatrix(expand_matrix,new_matrix);
return new_matrix;
}
/*初始化擴展矩陣*/
private void initExpandMatrix(double[][] init_matrix,double[][] expand_matrix) {
for (int i = 0; i < expand_matrix.length; i++)
for (int j = 0; j < expand_matrix[i].length; j++) {
if (j < expand_matrix.length) {//左邊的N*N矩陣原樣賦值
expand_matrix[i][j] = init_matrix[i][j];
} else { //右邊N*N賦值爲單位矩陣
if (j == expand_matrix.length + i)//如果爲右邊矩陣的對角線就賦值爲1
expand_matrix[i][j] = 1;
else
expand_matrix[i][j] = 0;
}
}
}
/*調整擴展矩陣，若某一列全爲0，則行列式的值等於0，不存在逆矩陣*/
private boolean adjustMatrix(double[][] expand_matrix) {
for (int i = 0; i < expand_matrix.length; i++) {
if (expand_matrix[i][i] == 0) {//如果某行對角線數值爲0
int j;
/*搜索該列其他不爲0的行，如果都爲0，則返回false*/
for (j = 0; j < expand_matrix.length; j++) {
if (expand_matrix[j][i] != 0) {//如果有不爲0的行，交換這兩行
double[] temp = expand_matrix[i];
expand_matrix[i] = expand_matrix[j];
expand_matrix[j] = temp;
break;
}
}
if (j >= expand_matrix.length) {//沒有不爲0的行
System.out.println("此矩陣沒有逆矩陣");
return false;
}
}
}
return true;
}
/*計算擴展矩陣*/
private void calculateExpandMatrix(double[][] expand_matrix) {
for (int i = 0; i < expand_matrix.length; i++) {
double first_element = expand_matrix[i][i];
for (int j = 0; j < expand_matrix[i].length; j++)
expand_matrix[i][j] /= first_element;//將該行所有元素除以首元素
/*把其他行再該列的數值都化爲0*/
for (int m = 0; m < expand_matrix.length; m++) {
if (m == i)//遇到自己的行跳過
continue;
double beishu = expand_matrix[m][i];
for (int n = 0; n < expand_matrix[i].length; n++) {
expand_matrix[m][n] -= expand_matrix[i][n] * beishu;
}
}
}
}
/*用計算過的擴展矩陣取後面的N*N矩陣，爲所求*/
private void getNewMatrix(double[][] expand_matrix, double[][] new_matrix) {
for(int i = 0; i < expand_matrix.length; i++)
for(int j = 0; j < expand_matrix[i].length; j++){
if(j >= expand_matrix.length)
new_matrix[i][j-expand_matrix.length] = expand_matrix[i][j];
}
}
/*打印矩陣*/
public void printMatrix(double[][] matrix){
for (double[] tempi : matrix) {
for (double tempj : tempi) {
System.out.print(tempj + " ");
}
System.out.println();
}
}
/*矩陣做乘法，驗證結果*/
private static double[][] getProductMatrix(double[][] init_matrix,
double[][] new_matrix) {
int len = init_matrix.length;
double[][] product_matrix = new double[len][len];
for(int i = 0; i < len; i++){
for(int j = 0; j < len; j++)
for(int k = 0; k < len; k++)
product_matrix[i][j] += init_matrix[i][k] * new_matrix[k][j];
}
return product_matrix;
}
public static void main(String[] args) {
NiMatrix _robot = new NiMatrix();
System.out.println("=====原矩陣=====");
double init_matrix[][] = {
{ 1, 2, -1 },
{ 3, 4, -2 },
{ 5, -4, 1 }
};
_robot.printMatrix(init_matrix);
System.out.println("=====逆矩陣=====");
double new_matrix[][] = _robot.getNiMatrix(init_matrix);
_robot.printMatrix(new_matrix);
System.out.println("=====原矩陣*逆矩陣=====");
double[][] product_matrix = getProductMatrix(init_matrix,new_matrix);
_robot.printMatrix(product_matrix);
}
}
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