二元一次不定方程的解法

二元一次不定方程的解法
時間:2008-12-17 14:47 點擊: 147次
　　我們知道，如果未知數的個數多於方程的個數，那麼，一般來說，它的解往往是不確定的，例如方程 x-2y=3，　　方程組　　等，它們的解是不確定的．像這類方程或方程組就稱爲不定方程或不定方程組．　　不定方程(組)是數論中的一個古老分支，其內容極其豐富．我國
　　
　　我們知道，如果未知數的個數多於方程的個數，那麼，一般來說，它的解往往是不確定的，例如方程
x-2y=3，
　　方程組
　　等，它們的解是不確定的．像這類方程或方程組就稱爲不定方程或不定方程組．
　　不定方程(組)是數論中的一個古老分支，其內容極其豐富．我國對不定方程的研究已延續了數千年，“百雞問題”等一直流傳至今，“物不知其數”的解法被稱爲中國剩餘定理．近年來，不定方程的研究又有新的進展．學習���定方程，不僅可以拓寬數學知識面，而且可以培養思維能力，提高數學解題的技能．
　　我們先看一個例子．
　　例 小張帶了5角錢去買橡皮和鉛筆，橡皮每塊3分，鉛筆每支1角1分，問5角錢剛好買幾塊橡皮和幾支鉛筆？
　　解 設小張買了x塊橡皮，y支鉛筆，於是根據題意得方程
3x+11y=50．
　　這是一個二元一次不定方程．從方程來看，任給一個x值，就可以得到一個y值，所以它的解有無數多組．
　　但是這個問題要求的是買橡皮的塊數和鉛筆的支數，而橡皮的塊數與鉛筆的支數只能是正整數或零，所以從這個問題的要求來說，我們只要求這個方程的非負整數解．
　　因爲鉛筆每支1角1分，所以5角錢最多隻能買到4支鉛筆，因此，小張買鉛筆的支數只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4這五個．
　　
　　若y=3，則x=17/3，不是整數，不合題意；
　　�� �y=4，則x=2，符合題意．
　　所以，這個方程有兩組正整數解，即
　　也就是說，5角錢剛好能買2塊橡皮與4支鉛筆，或者13塊橡皮與1支鉛筆．
　　像這個例子，我們把二元一次不定方程的解限制在非負整數時，那麼它的解就確定了．但是否只要把解限制在非負整數時，二元一次不定方程的解就一定能確定了呢？不能！現舉例說明．
　　例 求不定方程x-y=2的正整數解．
　　解 我們知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以這個方程的正整數解有無數組，它們是
　　其中n可以取一切自然數．
　　因此，所要解的不定方程有無數組正整數解，它的解是不確定的．
　　上面關於橡皮與鉛筆的例子，我們是用逐個檢驗的方法來求它們的非負整數解的，但是這種方法在給出的數比較大的問題或者方程有無數組解的時候就會遇到麻煩．那麼能不能找到一個有效而又方便的方法來求解���？我們現在就來研究這個問題，先給出一個定理．
　　定理 如果a，b是互質的正整數，c是整數，且方程
ax+by=c ①
　　有一組整數解x0，y0則此方程的一切整數解可以表示爲
　　其中t=0，±1，±2，±3，…．
　　證 因爲x0，y0是方程①的整數解，當然滿足
ax0+by0=c， ②
　　因此
a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．
　　這表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．
　　設x＇，y＇是方程①的任一整數解，則有
ax＇+bx＇=c. ③
　　③-②得
a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)． ④
　　由於(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整數．將y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇，y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整數解，命題得證．
　　有了上述定理，求解二元一次不定方程的關鍵是求它的一組特殊解．
　　例1 求11x+15y=7的整數解．
　　解法1 將方程變形得
　　因爲x�� �整數，所以7-15y應是11的倍數．由觀察得x0=2，y0=-1是這個方程的一組整數解，所以方程的解爲
　　解法2 先考察11x+15y=1，通過觀察易得
11×(-4)+15×(3)=1，
　　所以
11×(-4×7)+15×(3×7)=7，
　　可取x0=-28，y0=21．從而
　　可見，二元一次不定方程在無約束條件的情況下，通常有無數組整數解，由於求出的特解不同，同一個不定方程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的．將解中的參數t做適當代換，就可化爲同一形式．
　　例2 求方程6x+22y=90的非負整數解．
　　解 因爲(6，22)=2，所以方程兩邊同除以2得
3x+11y=45． ①
　　由觀察知，x1=4，y1=-1是方程
3x+11y=1 ②
　　的一組整數解，從而方程①的一組整數解爲
　　由定理，可得方程①的一切整數解爲
　　因爲要求的是原方程的非負整數解，所以必有
　　由於t是整數，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16兩種� ��能．
　　當t=15時，x=15，y=0；當t=16時，x=4，y=3．所以原方程的非負整數解是
　　例3 求方程7x+19y=213的所有正整數解．
　　分析這個方程的係數較大，用觀察法去求其特殊解比較困難，碰到這種情況我們可用逐步縮小系數的方法使係數變小，最後再用觀察法求得其解．
　　解 用方程
7x+19y=213 ①
　　的最小系數7除方程①的各項，並移項得
　　因爲x，y是整數，故3-5y/7=u也是整數，於是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的兩邊得
　
2u+5v=3． ④
　　由觀察知u=-1，v=1是方程④的一組解．將u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．於是方程①有一組解x0=25，y0=2，所以它的一切解爲
　　由於要求方程的正整數解，所以
　　解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整數解爲
　　當方程的係數較大時，我們還可以用輾轉相除法求其特解，其解法結合例題說明．
　　例4 求方程37x+107y=25的 整數解．
　　解 107=2×37+33，
37=1×33+4，
33=8×4+1．
　　爲用37和107表示1，我們把上述輾轉相除過程回代，得
1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4
　　　　 =37-9×(37-33)=9×33-8×37
　　　　 　 ＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37
　　　 　=37×(-26)+107×9．
　　由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一組整數解．於是
x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225
　　是方程37x+107y=25的一組整數解．
　　所以原方程的一切整數解爲
　　例5 某國硬幣有5分和7分兩種，問用這兩種硬幣支付142分貨款，有多少種不同的方法？
　　解 設需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，於是
7x+5y=142. ①
　　所以
　　由於7x≤142，所以x≤20，並且由上式知5｜2(x-1)．因爲(5，2)=1，所以5｜x-1，從而x=1，6，11，16，①的非負整數解爲
　　所以，共有4種不同的支付方式．
　　說明 當方程的係數較小時，而且是求非負整數解或者是實際問題時，這時候���解的組數往往較少，可以用整除的性質加上枚舉，也能較容易地解出方程．
　　多元一次不定方程可以化爲二元一次不定方程．
　　例6 求方程9x+24y-5z=1000的整數解．
　　解 設9x+24y=3t，即3x+8y=t，於是3t-5z=1000．於是原方程可化爲
　　用前面的方法可以求得①的解爲
　　②的解爲
　　消去t，得
　　大約1500年以前，我國古代數學家張丘建在他編寫的《張丘建算經》裏，曾經提出並解決了“百錢買百雞”這個有名的數學問題，通俗地講就是下例．
　　例7 今有公雞每隻五個錢，母雞每隻三個錢，小雞每個錢三隻．用100個錢買100只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少隻？
　　解 設公雞、母雞、小雞各買x，y，z只，由題意列方程組
　　①化簡得 15x+9y+z=300． ③
　　③-②得 14x+8y=200，
　　即 7x+4y=100．
　　解7x+4y=1得
　　於是7x+4y=100的一個特解爲
　　由定理知7x+4y=100的�� �有整數解爲
　　由題意知，0＜x，y，z＜100，所以
　　 　　
　　
　　由於t是整數，故t只能取26，27，28，而且x，y，z還應滿足
x+y+z=100．
t x y z
26 4 18 78
27 8 11 81
28 12 4 84
　　即可能有三種情況：4只公雞，18只母雞，78只小雞；或8只公雞，11只母雞，81只小雞；或12只公雞，4只母雞，84只小雞．
二元一次不定方程的解法相關練習
　　1．求下列不定方程的整數解：
　　(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；
　　(3)103x-91y＝5．
　　2．求下列不定方程的正整數解：
　　(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．
　　3．求下列不定方程的整數解：
　　(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．
　　4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整數解．
　　5．求不定方程組
的正整數解.