dfs序基本類型 詳細

參考

dfs序七個經典問題 ——weeping

本博文又名：手把手教你寫樹狀數組

1. 單點修改，子樹和查詢

單點修改，區間查詢

樹狀數組

維護每個點的權值：
1. 修改x （增加w ）：單點修改——add(x,w);
2. 查詢x 的子樹：區間查詢——ans=query(le[x])-query(ri[x]-1);

2. 單點修改，樹鏈和查詢

首先將 u−v 樹鏈和查詢轉化成 u−root,v−root,lca(u,v)−root,fa(lca(u,v))−root 的查詢，即要維護樹上節點到 root 的權值和。
考慮修改點 x ，影響到的即爲 x 的子樹內的點到 root 的權值，所以，單點修改事實上是區間修改。
至於查詢，則是四個單點查詢。

線段樹

維護每個節點到 root 的權值和：
1. 修改x （增加w ）：區間修改——修改 [le[x],ri[x]] 區間，modify(1,le[x],ri[x],w);
2. 查詢[u,v] 鏈：單點查詢——查詢 u,v,lca(u,v),fa(lca(u,v)) ，
ans=query(1,u)+query(1,v)-query(1,lca(u,v))-query(1,fa(lca(u,v)));
（本質上即四次查詢x ：query(1, x);）

樹狀數組

前綴和維護點到 root 的權值和的變化量：
1. 修改x （增加w ）：區間修改——add(le[x],w),add(ri[x]+1,-w);
2. 查詢[u,v] 鏈：單點查詢——ans=[u,v]間權值和的初始值+query(le[u])+query(le[v])-query(le[lca(u,v)])-query(le[fa(lca(u,v))]);
（本質上即四次查詢x ：query(x);）

3. 樹鏈修改，單點查詢

樹鏈修改的道理同上，等價於修改某個點到 root 的路徑的權值和。
考慮修改的樹鏈的一個端點爲 x ，增加值爲 w ，影響到的則是 x 到 root 的路徑上的點的權值，即當且僅當 x 在 y 的子樹內，修改 x 會對 y 的權值造成影響，增加值爲 w 。
對於點 y 而言，其權值的變化量事實上就是其子樹中點權值的變化量之和（相當於把 y 的變化量記在了其子孫節點的頭上），即∑x∈y的子樹w[x] ，故爲區間查詢。而維護的即爲子樹中點權值的變化量，即單點修改。

樹狀數組

維護每個點權值的變化量：
1. 修改[u,v] 鏈（增加w ）：單點修改——add(u,w),add(v,w),add(lca(u,v),-w),add(fa(lca(u,v)),-w);
（本質上即四次修改x ：add(x,w);）
2. 查詢x ：區間查詢——ans=x的初始值+query(ri[x])-query(le[x]-1);

4. 樹鏈修改，子樹和查詢

樹鏈修改的道理同上，等價於修改某個點到 root 的路徑的權值和。
考慮修改的樹鏈的一個端點爲 x ，影響到的則是 x 到 root 的路徑上的點的權值，即當且僅當 x 在 y 的子樹內，修改 x 會對 y 的子樹和造成影響，增加值爲 w[x]∗(depth[x]−depth[y]+1) 。
y 的變化量總和則爲

∑x∈y的子樹w[x]∗(depth[x]−depth[y]+1)=∑x∈y的子樹w[x]∗(depth[x]+1)−depth[y]∑x∈y的子樹w[x]

仍是單點修改，區間查詢

樹狀數組

開兩個樹狀數組，分別維護 w[x]∗(depth[x]+1) 與 w[x] .
1. 修改[u,v] 鏈（增加w ）：單點修改——
add1(u,w*(depth[u]+1)),add1(v,w*(depth[v]+1)),add1(lca(u,v),-w*(depth[lca(u,v)]+1)),add1(fa(lca(u,v)),-w*(depth[fa(lca(u,v)]+1);
add2(u,w),add2(v,w),add2(lca(u,v),-w),add2(fa(lca(u,v)),-w);
（本質上即八次修改x ：add(x,w);）
2. 查詢x 的子樹：區間查詢——
ans=子樹和的初始值+query1(ri[x])-query1(le[x]-1)-depth[x]*(query2(ri[x])-query2(le[x]-1));

5. 子樹修改，單點查詢

區間修改，單點查詢

樹狀數組

前綴和維護點權值的變化量：
1. 修改x 的子樹（增加w ）：區間修改——add(le[x],w),add(ri[x]+1,-w);
2. 查詢x ：單點查詢——ans=x的初始值+query(le[x]);

6. 子樹修改，子樹和查詢

區間修改，區間查詢

線段樹

維護每個點的權值
1. 修改x 的子樹（增加w ）：區間修改——add(1,le[x],ri[x],w);
2. 查詢x 的子樹：區間查詢——ans=query(1,le[x],ri[x]);

樹狀數組

具體見【小結】樹狀數組的區間修改與區間查詢 ——MoeO3，本菜就不多廢話了_(:3」∠)_
（已經赤果果地變成一篇樹狀數組的文章啦(逃

7. 子樹修改，樹鏈和查詢

樹鏈修改的道理同2. 3. 4. ，等價於修改某個點到 root 的路徑的權值和。
考慮修改 x 的子樹，影響的則是 x 的子樹內的點到 root 的路徑的權值和，即當且僅當 y 在 x 的子樹內，修改會對 y 的查詢造成影響，增加值爲 w[x]∗(depth[y]−depth[x]+1) 。故爲區間修改，單點查詢。

樹狀數組

開兩個樹狀數組，分別維護 w[x]∗(−depth[x]+1) 與 w[x] .
1. 修改x 的子樹（增加w ）：區間修改——
add1(le[x],w[x]*(-depth[x]+1);add1(ri[x]+1,-w[x]*(-depth[x]+1);
add2(le[x],w[x]);add2(ri[x]+1,-w[x]);
2. 查詢[u,v] 鏈：單點查詢——
ans=[u,v]間權值和的初始值+(query1(le[u])+query1(le[v])-query1(le[lca(u,v)])-query1(le[fa(lca(u,v))]))+depth[y]*(query2(le[u])+query2(le[v])-query2(le[lca(u,v)])-query2(le[fa(lca(u,v))]));
（本質上即八次查詢x ：query(x)）

完結撒花~
哪裏有錯誤還煩請批評指正啦