BZOJ 3930 [CQOI2015]選數 & 51nod 1244 莫比烏斯函數之和 & BZOJ 2301

這篇文章姑且叫做小總結大雜燴吧（大霧）

BZOJ 3930

題意

從區間 [L,H] 中選取 N 個整數，求它們的最大公約數爲 K 的方案總數，答案 mod1e9+7 .
1≤N,K≤1e9，1≤L≤H≤1e9，H−L≤1e5 .

推導

就是莫比烏斯反演最常規的套路了
記 f(i) 爲 gcd=i 的方案總數， F(i) 爲 i|gcd 的方案總數，顯然有

F(i)=∑i|dgcd(d)

反演得

f(i)=∑i|dμ(di)F(d)

題目裏要求的即爲

f(K)=∑K|dμ(dK)F(d)=∑i=1⌊HK⌋μ(i)F(ik)

注意：這裏 i 也就是 倍數 的下界是從 1 開始，而不是從 ⌈LK⌉ 開始。道理很顯然，取數的範圍的下界爲 L 並不意味着 gcd 的下界也要爲 L 啊。（智障到不忍回顧Orz）

F 很好求，即

F(x)=(⌊HK⌋−⌈LK⌉+1)n

也可寫作

F(x)=(⌊HK⌋−⌊L−1K⌋)n

接下來就是很顯然的分塊搞一搞了。
且慢……你說什麼範圍有 1e9 ？那還怎麼線性篩？
那就先來看另一道題吧~

51nod 1244

題意

求莫比烏斯函數之和，範圍 n≤1e10

參考

淺談一類積性函數的前綴和 ——skywalkert

推導

我們有

∑d|nμ(d)=[n==1]

將左邊拆開來

μ(n)+∑d|n,d<nμ(d)=[n==1]

移過去

μ(n)=[n==1]−∑d|n,d<nμ(d)

求個和

∑i=1nμ(i)=∑i=1n[i==1]−∑i=1n∑d|i,d<iμ(d)=1−∑i=1n∑d|i,d<iμ(d)=1−∑k=2n∑d=1⌊nk⌋μ(d)

記 M(n)=∑ni=1μ(i) ，上式可化爲

M(n)=1−∑k=2nM(⌊nk⌋)

很顯然就可以遞歸求解了。
具體做的時候設個閾值 1e7 篩一部分算一部分。

奇怪的(…)延伸

其實這部分起初叫做：上面推導沒看明白的看這裏QWQ
爲什麼

∑i=1n∑d|i,d<iμ(d)=∑k=2n∑d=1⌊nk⌋μ(d)

呢？
我們一般將裏面的部分提前的時候提的是枚舉的 因子 d ，這樣左邊就化爲

∑d=1n∑i=2⌊nd⌋μ(d)

右式中 d 的含義沒有變，i 則是枚舉的 d 的 倍數。繼續化下去

=∑d=1nμ(d)∑i=2⌊nd⌋=∑d=1nμ(d)(⌊nd⌋−1)

這…好像並沒有什麼用處呢…。

現在我們考慮提前 倍數，則得到

∑k=2n∑d=1⌊nk⌋μ(d)

其中 k 的含義爲 倍數，d 還是表示因子，這樣就得到了有用的可以用來遞推的式子了（撒花）。

真是神奇啊（大霧）
之前各種看人家的博客各種看不懂嚶嚶嚶

不過我們也有一些收穫。

[n==1]=∑d|nμ(d)

兩邊求和

1=∑i=1n[i==1]=∑i=1n∑d|iμ(d)=∑d=1n∑i=1⌊nd⌋μ(d)=∑d=1nμ(d)∑i=2⌊nd⌋=∑d=1nμ(d)⌊nd⌋

也就是說

∑d=1nμ(d)⌊nd⌋=1

哇世界真奇妙（大霧）姑且當成一個奇怪的結論吧~

Code

#include <bits/stdc++.h>
#include <map>
#define maxn 10000010
#define maxm maxn + 10
using namespace std;
typedef long long LL;
map<LL, LL> sum;
int prime[maxm], mu[maxm];
bool check[maxm];
void init() {
    int tot = 0; mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= maxn; ++i) {
        if (!check[i]) {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < tot; ++j) {
            if (i * prime[j] > maxn) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= maxn; ++i) mu[i] += mu[i - 1];
}
LL mu_sum(LL x) {
    if (x <= maxn) return mu[x];
    if (sum.find(x) != sum.end()) return sum[x];
    LL le, ri, ret = 0;
    for (LL i = 2; i <= x; i = ri + 1) {
        le = i, ri = x / (x / i);
        ret += (ri - le + 1) * mu_sum(x / i);
    }
    return sum[x] = 1 - ret;
}
LL a, b;
void work() {
    printf("%lld\n", mu_sum(b) - mu_sum(a - 1));
}
int main() {
    init();
    while (scanf("%lld%lld", &a, &b) != EOF) work();
    return 0;
}

BZOJ 3930 續

有了上一題的基礎，這道題就好寫了

Code

#include <bits/stdc++.h>
#include <map>
#define maxn 10000010
#define maxm maxn + 10
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod = 1e9+7;
map<LL, LL> sum;
int prime[maxm], mu[maxm];
bool check[maxm];
void init() {
    int tot = 0; mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= maxn; ++i) {
        if (!check[i]) {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < tot; ++j) {
            if (i * prime[j] > maxn) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= maxn; ++i) mu[i] += mu[i - 1];
}
LL mu_sum(LL x) {
    if (x <= maxn) return mu[x];
    if (sum.find(x) != sum.end()) return sum[x];
    LL le, ri, ret = 0;
    for (LL i = 2; i <= x; i = ri + 1) {
        le = i, ri = x / (x / i);
        ret = (ret + (ri - le + 1) * mu_sum(x / i) + mod) % mod;
    }
    return sum[x] = (1 - ret + mod) % mod;
}
LL poww(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ret = ret * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
LL n, k, l, h;
LL F(LL d) { return poww(h / d - (l-1) / d, n); }
void work() {
    LL hi = h / k;
    LL ans = 0, le, ri;
    for (LL i = 1; i <= hi; i = ri + 1) {
        LL temp = i * k;
        le = i, ri = min(h / (h / temp), (l-1) / temp ? (l-1) / ((l-1) / temp) : inf) / k;
        ans = (ans + mod + (mu_sum(ri) - mu_sum(le - 1) + mod) % mod * F(temp) % mod) % mod;
    }
    ans = (ans + mod) % mod;
    printf("%lld\n", ans);
}
int main() {
    init();
    while (scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &k, &l, &h) != EOF) work();
    return 0;
}

BZOJ 2301

題意

求

∑x=ab∑y=cd[gcd(x,y)=k]

（低配版的BZOJ 3930）

推導

即求

∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=k]

再容斥一下即可。
因爲 gcd(i,j)=k ，所以 gcd(ik,jk)=1 ，所以上式可化爲

∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋[gcd(i,j)=1]

即

∑d=1min(⌊nk⌋,⌊mk⌋)μ(d)∑i=1⌊nkd⌋∑j=1⌊mkd⌋

即

∑d=1min(⌊nk⌋,⌊mk⌋)μ(d)⌊nkd⌋⌊mkd⌋

分塊搞一搞就行了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 50000
typedef long long LL;
using namespace std;
int kas, prime[maxn + 10], mu[maxn + 10], pre[maxn];
bool check[maxn + 10];
void mobius() {
    int tot = 0;
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= maxn; ++i) {
        if (!check[i]) {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < tot; ++j) {
            if (i * prime[j] > maxn) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= maxn; ++i) pre[i] = pre[i - 1] + mu[i];
}
LL calc(int c, int d) {
    if (c > d) swap(c, d);
    LL ans = 0;
    int le, ri;
    for (int i = 1; i <= c; i = ri + 1) {
        le = i, ri = min(c / (c / i), d / (d / i));
        ans += 1LL * (pre[ri] - pre[le - 1]) * (c / i) * (d / i);
    }
    return ans;
}
void work() {
    int a, b, c, d, k;
    scanf("%d%d%d%d%d", &a, &c, &b, &d, &k);
    LL tot1 = calc(c / k, d / k), tot2 = calc(c / k, (b-1) / k),
        tot3 = calc((a-1) / k, d / k), tot4 = calc((a-1) / k, (b-1) / k);
    printf("%lld\n", tot1 - tot2 - tot3 + tot4);
}
int main() {
    mobius();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) work();
    return 0;
}