leetcode Maximum Subarray 最大子序列

Maximum Subarray 

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Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.


For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],

the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

     設數組爲A[n], dp[n-1]是前n-1個數的最大子序列,那麼dp[n]=dp[n-1]>0?dp[n-1]+A[n]:A[n].用這個算法從最左邊到最右邊掃描連續子序列的和.

     那麼最大的子序列怎麼求。每次都用之求maxSum=max{dp[n],maxSum}保存最大的子序列。

對於元素n=0, sum=A[0],最大序列和爲maxSum=A[0] 顯然成立,

根據循環不變性.對於n

            1、設dp[n-1]當前某段連續子序列的和,我們假設爲A[n-1]=dp[n-1]，即假設A[n-1]爲該段前面的子序列和.如果A[n-1]>=0,那麼A[n-1]+A[n]自然是{A[n-1],A[n]}這個序列的最大值。意味着這段連續子序列仍然增加，並把A[n]包含進這段連續子序列,這段連續子序列的值相應也增加了.

            2、如果A[n-1]<0,那麼A[n]就是這個連續子序列的最大值。意味重新開始了一段新的連續子序列。

            3、假設maxSum爲之前的最大連續子序列和,使用maxSum=max(A[n],maxSum)可以求前一段連續子序列和當前子序列的最大值，這個函數保證了在n時,maxSum仍然是A[0].....A[n]的最大連續子序列和.

在n結束時仍然滿足循環不變性，算法證畢.

class Solution {
public:
    int maxSubArray(int A[], int n) {
        int sum=A[0],maxSum=A[0];
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            if(sum<0) sum=0;
            sum+=A[i];
            maxSum=max(sum,maxSum);
        }
        return maxSum;
    }
};