北航軟件工程專業考研991數據結構總結：
五、樹與二叉樹
1．樹與二叉樹的基本概念，基本特徵、名詞術語；
2．完全二叉樹與滿二叉樹的基本概念，二叉樹的基本性質及其應用；
3．二叉樹的順序存儲結構與二叉鏈表存儲結的基本原理；
4．二叉樹的前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷和按層次遍歷，重點是二叉樹在以二叉鏈表作爲存儲結構基礎上各種遍歷算法(包括非遞歸算法)的設計與應用；
5．二叉排序樹的基本概念、建立(插入)、查找以及平均查找長度ASL的計算。
1、樹與二叉樹的基本概念，基本特徵，名詞術語
基本概念：
樹的定義：結點的集合 + 節點之間關係的集合
n >= 0個數據組成的結構及其之間的關係。n = 0 成爲空樹，只有一個根節點，除了根節點每個節點只有一個直接前驅，但是有多個直接後繼。
任何一棵非空樹中，有一個特殊節點t屬於結點集合D，稱爲根節點，其餘節點被分爲m個子集 D1, D2, D3 ... 每個子集又是一棵樹，稱爲t的子樹。
基本特徵：
1）、有且僅有一個節點沒有前驅結點，爲該樹的根節點；
2）、除了根節點之外，每個節點有且僅有一個前驅結點；
3）、包括根結點在內，每個節點可以有多個後繼節點；
一對多的關係。
名詞術語：
1）、結點的度：該節點擁有的子樹；
2）、樹的度：樹中所有結點的度的最大值；
3）、葉結點：度爲0的結點；
4）、分支結點：度不爲0的結點；
5）、層：根結點在第一層，其餘結點若在第i層，則其孩子結點在第i+1層；
6）、樹的深度：結點所處的最大層數；
7）、樹林（森林）：m >= 0 棵不相交的子樹組成的樹的集合；
8）、樹的有序性：若結點的相對位置不能隨意改變，有序樹，否則，無序樹；
二叉樹：
定義：結點 + 結點的關係構成的集合。
要麼是一棵空樹，要麼是一棵包含根結點，以及兩顆不相交的，分別稱爲左子樹，右子樹的二叉樹。
基本特徵：
要麼是空樹，要麼只有根結點，要麼有一個左子樹，右子樹空，要麼一棵右子樹，左子樹空，要麼兩個非空左右子樹。
2、完全二叉樹與滿二叉樹的基本概念，二叉樹的基本性質及應用
滿二叉樹：要麼沒有，要麼有兩個孩子節點，且度爲0的節點都在最後一層。FULL
完全二叉樹：爲了順序存儲的方便，最下面兩層可以度爲0，並且最後一層必須從左至右排列。
如果排除最後一層，就是一棵滿二叉樹。
性質：
1）、n個結點的非空二叉樹有n-1個分支；每個結點除了根結點外，都只有一條到直接前驅的分支，故分支總數就是n-1；
2）、非空二叉樹i層最多有2^(i-1)個結點；
3）、深度爲h的非空二叉樹最多有 2^h -1 個結點；
4）、n0 = n2 + 1; n = n1 + n2 + n0; B = n-1; B = n1 + 2n2;
5)、具有n個結點的非空完全二叉樹的深度h = [log2 n] + 1; []取整
6）、完全二叉樹的編號問題，從上到下，從左到有進行編號，則：
①、若i = 1，則i號結點爲根結點；
若i > 1，則i號結點的雙親結點的編號爲[i/2];
②、若2i > n，則編號爲i的結點沒有左子樹；
若2i <= n，則編號爲i的結點的左孩子編號爲2i；
③、若2i+1 > n，則編號爲i的結點沒有右子樹；
若2i+1 <= n，則編號爲i的結點右孩子編號爲2i+1;
3、二叉樹的順序存儲結構與二叉鏈表存儲結構的基本原理
順序存儲結構
1）、完全二叉樹的順序存儲結構
按照編號依次存儲到一維數組[0..2^n-2]中，編號與數組下標一一對應
2）、一般二叉樹的順序存儲結構
構造不存在的虛結點，使其成爲一棵完全二叉樹，在用一維數組[0..2^n-2]存儲即可
二叉樹的鏈式存儲（二叉鏈表）
鏈節點 lchild data rchild data爲數據域，lchild爲左子樹指針，rchild爲右子樹指針
typedef struct node{
int data;
struct node *lchild, *rchild;
}BTNode, *BTree;
4、二叉樹的前序遍歷，中序遍歷，後序遍歷，按層遍歷，重點是二叉樹按二叉鏈表爲存儲結構的各種遍歷算法（包括非遞歸算法）的設計與應用
概念：按照一定的原則（順序）對二叉樹中的結點進行訪問（且僅訪問一次），得到一個二叉樹所有結點做成的序列，這個過程叫做二叉樹的遍歷
前序遍歷：
原則：若二叉樹非空，訪問根節點；
以前序遍歷原則遍歷根結點的左子樹；
以前序遍歷原則遍歷根結點的右子樹；
遞歸算法：
void PreOrder(BTree t)
{
if(t != NULL)
{
visit(t);
PreOrder(t->lchild);
preOrder(t->rchild);
}
}
中序遍歷：
原則：若被遍歷的二叉樹非空；
以中序遍歷原則遍歷根結點的左子樹；
訪問根結點；
以中序遍歷原則遍歷根結點的右子樹；
遞歸算法：
void InOrder(BTree t)
{
if(t != NULL)
{
InOrder(t->lchild);
visit(t);
InOrder(t->rchild);
}
}
後序遍歷：
原則：若被遍歷的二叉樹非空；
以後序遍歷原則遍歷根結點的左子樹；
以後序遍歷原則遍歷根結點的右子樹；
訪問根結點；
遞歸算法：
void PostOrder(BTree t)
{
if(t != NULL)
{
PostOrder(t->lchild);
PostOrder(t->rchild);
visit(t);
}
}
按層次遍歷：
非遞歸算法的設計：
以中序遍歷爲例：
STACK[0..M-1] 保存遍歷過程中結點的地址；
top指針，棧頂指針，初始-1；
p 遍歷過程中指向結點的指針，初始指向根結點
描述：
1）、若p指向結點非空，則將p進棧，然後p指向左子樹根結點；
2）、若p指向爲空，則將棧頂元素退棧賦值給p，訪問該結點，然後將p指向右子樹的根；
3）、重複上述過程，直到p爲空，棧爲空。
算法：
void InOrder(BTree t)
{
BTree Stack[M];
int top = -1;
BTree p = t;
do
{
while(p != NULL)
{
Stack[++top] = p;
p = p->lchild;
}
p = Stack[top--];
visit(p);
p = p->rchild;
}while(p != NULL || top != -1)
}
4、二叉排序樹的基本概念，建立（插入），查找以及平均查找長度ASL的計算
基本概念：
定義：二叉排序樹或者是空樹，或者具有下列性質：
若根結點左子樹不爲空，則左子樹上所有結點的值都小於根結點的值；
若根結點右子樹不爲空，則右子樹上所有結點的值都大於或者等於根結點的值。
建立（插入）逐點插入：
設K具有n個元素，沒取一個元素，按照下述原則進行插入：
若二叉樹爲空，則將該元素作爲根結點；
若不爲空，則與根結點進行比較，若小於根結點的值，則插入左子樹，若大於根結點，則插入右子樹，插入子樹的時候也遵循這一原則
void InsertBST(BTree *t, int item)
{
BTree p, q;
p = (BTree)malloc(sizeof(BTNode));
p->data = item;
p->lchild = NULL;
p->rchild = NULL;
if (*t == NULL)
*t = p;
else
{
q = *t;
while(1)
{
if(item < q->data)
{
if(q->lchild == NULL)
{
q->lchild = p;
break;
}else
{
q = q->lchild;
}
}
else
{
if(q->rchild == NULL)
{
q->rchild = p;
break;
}
else
{
q = q->rchild;
}
}
}
}
}
查找
過程：
1）、若二叉樹爲空，則查找失敗，結束；
2）、若二叉樹非空，將要查找的值與根結點的值進行比較，如果相等，則返回根結點的鏈地址，查找成功，結束；
3）、若要查找的值小於根結點的值，則到根結點的左子樹中繼續上述查找；
4）、若要查找的值大於根結點的值，則到根結點的右子樹中繼續上述查找；
5）、知道查找成功或失敗。
BTree SortSearch(BTree t, int data)
{
BTree p = t;
while (p != NULL)
{
if (p->data == data)
return p;
else if (p->data > data)
p = p->lchild;
else
p = p->rchild;
}
return NULL;
}
平均查找長度ASL
與二叉樹的形態有關；
平均查找長度ASL：確定一個元素在樹中的位置所需要進行比較次數的期望值
內路徑長度：從根結點到某節點所經過的分支數目叫做該結點的路徑，內路徑是所有結點的路徑之和 IPL Internal Path Length
外路徑長度：將二叉樹的葉結點進行補充，用方塊表示，得到的所有外部結點的路徑之和爲外路徑長度 EPL External Path Length
如果二叉樹有n個結點，則補充之後有n+1個外部結點
EPL = IPL + 2n
比較次數是結點路徑 + 1
ASL = （IPL + n）/n
查找不成功時，比較次數就是外路徑長度
ASL = （EPL）/n = （IPL + 2n）/n
最後，成功與不成功的統一ASL
（IPL + n + EPL）/(n + n + 1) = (2IPL + 3n) / (2n+1)
最佳二叉排序樹，內路徑最小 O(log2N)
最壞情況下，與順序相同 (n+1)/2，相當於一棵單支二叉樹