假設檢驗中的 p 值

假設檢驗中的 p 值
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（2）拒絕原假設的最小顯著性水平。

邏輯

1. 基本定義：$p$ 值 + 顯著性水平 $\alpha$ + $\beta$ + 勢 $\pi$
   （1）$p$ 值
   （2）顯著性水平 $\alpha$
   （3）$\beta$
   （4）勢 $\pi$
2. 理解 $p$ 值
   （1）例子一
   （2）例子二

說明與致謝

參考文獻：
假設檢驗,顯著性水平,p-value
統計學假設檢驗中 p 值的含義具體是什麼？知乎回答

基本定義：$p$ 值 + 顯著性水平 $\alpha$ + $\beta$ + 勢 $\pi$

$p$ 值 ：

（1）一種概率：在原假設爲真的前提下，所得樣本的觀察結果 + 更極端情況出現的概率。
（2）拒絕原假設的最小顯著性水平。
顯著性水平 $\alpha$ 在定義中就是“拒絕原假設”，而且由於顯著性水平是犯第一類錯誤的概率，所以 $\alpha$ 的取值應該越小越好啊！爲什麼還存在最小 $\alpha$？？？
（3）觀察到的(實例的)顯著性水平。
（4）表示對原假設的支持程度，用於確定是否應該拒絕原假設的另一種方法。

顯著性水平 $\alpha$（犯第1類錯誤的概率）：

在原假設爲真的條件下，拒絕原假設 的概率，$\alpha=P(拒絕H_0 | H_0爲真).$

$\beta$（犯第2類錯誤的概率）：

在原假設爲假的條件下，接受原假設 的概率，$\beta=P(接受H_0 | H_0爲假).$

檢驗功效 $\pi$、勢、power ：

在原假設爲假的條件下，拒絕原假設 的概率，$\pi=1-\beta=P(拒絕H_0 | H_0爲假).$

理解 $p$ 值

例子一
某生產線上，葡萄糖的淨重是一個隨機變量，服從某種分佈。當機器正常工作時，均值是 0.5kg，標準差是 0.015kg。隨機抽樣9袋，淨重爲：$0.497 \quad 0.506 \quad 0.518 \quad 0.524 \quad 0.498 \quad 0.511 \quad 0.520 \quad 0.515 \quad 0.512$判斷機器是否正常？

解：假設檢驗
Way One:
$Step \ 1$. 列出假設$H_0: \mu=\mu_0=0.5$ $H_0: \mu \neq \mu_0$抽樣樣本 $X: \{x_1,...,x_n\}$，均值 $\bar{x}.$

分析：
由於樣本均值是總體均值的無偏估計，當原假設成立時，樣本均值應該與 $\mu_0$ 很接近，即 $|\bar{x}-\mu_0|$ 要足夠小。 換句話說，在 $H_0$ 成立的條件下，選定一個常數 $k \geq 0,$ 有
$P\{ |\bar{X}-\mu_0| \geq k \}=\alpha, \tag{1}$根據中心極限定理，樣本均值近似服從正態分佈，即$\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$ 因此，(1) 式可以改寫爲
$P\{ | \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} | \geq k \}=\alpha, \tag{2}$
當 $\alpha = 0.05$ 時，$k=z_{\alpha/2}=1.96.$

$Step \ 2$. 選擇統計量
$Z= \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$

$Step \ 3$. 確定拒絕域
$C=\{ | \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} | \geq k \}$

$Step \ 4$. 帶入樣本數據 $\bar{x}.$
$|\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt(n)}|=|\frac{\bar{x}-0.5}{0.015/\sqrt9}|=2.2 \geq k=1.96.$

因爲樣本數據落入拒絕域，所以拒絕原假設。

Way Two: P-value
分析：
$|\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}|=|\frac{\bar{x}-0.5}{0.015/\sqrt9}|=2.2 \geq k=1.96.$ 根據 $p$ 值的定義（1）：
一種概率：在原假設爲真的前提下，所得樣本的觀察結果 + 更極端情況出現的概率。$p-value =P(|\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}| \geq 2.2)=1-\Phi(2.2)$ 該 $p$ 值小於 $\alpha$ 值，$\leq P(|\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}| \geq 1.96)=\alpha=0.05.$

$p-value < \alpha,$ 拒絕原假設。因爲 $p$ 值這麼小的概率都發生了，所以有理由拒絕原假設。（原則：小概率事件在一次觀察中可以認爲基本上不會發生。）

$Step \ 1$. 列出假設
$Step \ 2$. 選擇統計量
$Step \ 3$. 確定拒絕域
$Step \ 4$. 帶入樣本數據，計算 $p$ 值
$Step \ 5$. 比較 $p$ 值與 $\alpha$ 的大小：$p < \alpha,$ 拒絕原假設

例子二

代碼

編寫求 $P$ 值的 P_value.R 文件：

P_value<-function(cdf,x,paramet=numeric(0),side=0){
  n<-length(paramet)
  P<-switch(n+1,
            cdf(x),
            cdf(x,paramet),
            cdf(x,paramet[1],paramet[2]),
            cdf(x,paramet[1],paramet[2],paramet[3])
            )
  if (side<0) P # 左側，分佈函數形式
  else if (side>0) 1-P # 右側，1-分佈函數形式
  else
    if (P<1/2) 2*P
    else 2*(1-P)
}

編寫求正態總體的均值檢驗，mean.test1.R 文件：

# 正態總體的均值檢驗
# 雙邊檢驗，side=0
# 左側單邊檢驗，side<0,備擇假設爲mu<mu_0
# 右側單邊檢驗，side>0,備擇假設爲mu>mu_0
# 拒絕域形式與備擇假設形式相同
mean.test1<-function(x,mu=0,sigma=-1,side=0){
  # mu是原假設的mu_0
  source("P_value.R")
  n<-length(x); xb<-mean(x)
  if (sigma>0){
    # sigma方差已知
    z<-(xb-mu)/(sigma/sqrt(n))
    # 統計量服從自由度爲n的標準正態分佈
    P<-P_value(pnorm,z,side=side)
    data.frame(mean=xb,df=n,Z=z,P_value=P)
  }
  else{
    t<-(xb-mu)/(sd(x)/sqrt(n))
    # 統計量服從自由度爲n-1的t分佈
    P<-P_value(pt,t,paramet=n-1,side=side)
    data.frame(mean=xb,df=n-1,T=t,P_value=P)
  }                       
}

結果：
已知 16 只元件的壽命，問：是否有理由認爲元件的平均壽命大於 225 小時？
假設檢驗：$H_0: \mu \leq \mu_0=225, \qquad H_1: \mu>\mu_0=225.$該問題是右側單邊檢驗：拒絕域與 $H_1$ 形式相同。

> source('E:/R/RStudiowork/mean.test1.R')
> X<-c(159, 280, 101, 212, 224, 379, 179, 264, 222, 362, 168, 250, 149, 260, 485, 170)
> mean.test1(X,mu=225,side=1)
   mean df         T   P_value
1 241.5 15 0.6685177 0.2569801

P_value = 0.2569801 > 0.05，不能拒絕原假設，接受 $H_0$，元件的平均壽命不大於 225 小時。