位置式和增量式PID

PID控制是一個二階線性控制器

定義：

通過調整比例、積分和微分三項參數，使得大多數的工業控制系統獲得良好的閉環控制性能。

優點：

• 技術成熟
• 易被人們熟悉和掌握
• 不需要建立數學模型
• 控制效果好
• 魯棒性

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1.位置式PID控制算法

基本PID控制器的理想算式爲
$u(t)=K_p[e(t)+\frac{1}{T}\int_{t}^{0}e(t)dt+T_d\frac{de(t)}{dt} ]$

• e(t) ------ 控制器的輸入（常常是設定值與被控量之差，即e(t)=r(t)-c(t)）；
• u(t) ------ 控制器的輸出；
• Kp——控制器的比例放大係數；
• Ti ——控制器的積分時間；
• Td——控制器的微分時間。

設u(k)爲第k次採樣時刻控制器的輸出值，可得離散的PID算式
$u(k)=K_pe(k)+K_i\sum_{j=0}^{k}e(j)+K_d[e(k)-e(k-1)]$
其中
$K_i=\frac{K_PT} {T_i} \\[10pt] K_d=\frac{KpT_d} {T}$

由於計算機的輸出u(k)直接控制執行機構（如閥門），u(k)的值與執行機構的位置（如閥門開
度）一一對應，所以通常稱式(2)爲位置式PID控制算法。

位置式PID控制算法的缺點：

1. 當前採樣時刻的輸出與過去的各個狀態有關，計算時要對e(k)進行累加，運算量大；
2. 控制器的輸出u(k)對應的是執行機構的實際位置，如果計算機出現故障，u(k)的大幅度變化會引起執行機構位置的大幅度變化。

2.增量式PID控制算法

增量式PID是指數字控制器的輸出只是控制量的增量Δu(k)。採用增量式算法時，計算機輸出的控制量Δu(k)對應的是本次執行機構位置的增量，而不是對應執行機構的實際位置，因此要求執行機構必須具有對控制量增量的累積功能，才能完成對被控對象的控制操作。執行機構的累積功能可以採用硬件的方法實現；也可以採用軟件來實現，如利用算式 u(k)=u(k-1)+Δu(k)程序化來完成。
由式(2)可得增量式PID控制算式
$\begin{aligned} &\Delta u(k)=u(k)-u(k-1)=K_p\Delta e(k)+K_ie(k)+K_d[\Delta e(k) - \Delta e(k-1)] \\[6pt] &\Delta e(k)=e(k)-e(k-1) \\[6pt] &\Delta u(k)=Ae(k)+Be(k-1)+Ce(k-2) \\[6pt] &A=K_p(1+\frac{T} {T_i}+\frac{T_d} {T}) \\[6pt] &B=K_p(1+\frac{2T_d} {T}) \\[6pt] &C=\frac{K_pT_d} {T} \end{aligned}$

一般計算機控制系統的採樣週期T在選定後就不再改變，所以，一旦確定了Kp、Ti、Td，只要使用前後3次測量的偏差值即可求出控制增量。

增量式算法優點：

1. 算式中不需要累加。控制增量Δu(k)的確定僅與最近3次的採樣值有關，容易通過加權處理獲得比較好的控制效果；
2. 計算機每次只輸出控制增量，即對應執行機構位置的變化量，故機器發生故障時影響範圍小、不會嚴重影響生產過程；
3. 手動—自動切換時衝擊小。當控制從手動向自動切換時，可以作到無擾動切換。