“SNR”、“Eb/N0”與“Es/N0”辨析

“SNR”、“Eb/N0”與“Es/N0”辨析

1. 符號說明

$S$：信號平均功率	$N$： 噪聲平均功率
$E_b$： 每bit信號能量	$N_0$：噪聲功率譜密度
$E_s$：信號（符號）能量	$R_b$：傳信率（每秒傳輸的bit數）
$W$： 信號帶寬	$k$： 每個符號包含的bit數
$T$： 符號週期	$T_s$： 採樣點間隔

由上表可知，$R_b=\frac{k}{T}，使用M進制傳輸時，k=log_2M$

2. 信噪比的定義

  信噪比一般定義爲信號（平均）功率與噪聲（平均）功率之比，又可進一步細分爲平均信噪比$S/N$，比特信噪比$E_b/N_0$，符號信噪比$E_s/N_0$。通信系統仿真中常用dB形式：

$\begin{aligned} SNR&=10log(S/N)&——& 信號噪聲平均功率比的dB形式 \\ ebno&=10log(E_b/N_0)&——& 比特信噪比的dB形式\\ essno&=10log(E_s/N_0)&——& 符號信噪比的dB形式 \end{aligned}$

3. $E_b/N_0與S/N$

$S=E_b×R_b$ —— 信號平均功率=每秒傳輸的信號能量
$N=N_0×W$ —— 噪聲功率=噪聲功率譜密度×信道帶寬

於是有：

$\frac{S}{N} =\frac{E_b×R_b}{N_0×W} = \frac{E_b}{N_0}× \frac{R_b}{W}=\eta\frac{E_b}{N_0} \tag{1}$

其中

$\eta=R_b/W$稱爲頻帶利用率——單位頻帶內的信息傳輸速率，單位：bit/(s·Hz)

4. $E_b/N_0與E_s/N_0$

$E_s=E_b \times k \\ \ \\ k=log_2M$

於是有
$\frac{E_s}{N_0}=k \times\frac{E_b}{N_0}=log_2M \times\frac{E_b}{N_0} \tag{2}$

由上式可以看出，$E_b/N_0$與$k$無關，而$E_s/N_0$與$k$有關，$k$是每個符號中包含的信息bit數，受編碼速率以及調製方式等因素的影響。在數字通信系統仿真中，多用$E_b/N_0$做爲衡量系統性能的指標。

5. $E_s/N_0與S/N$

由（1）（2）可知，
$\frac{E_s}{N_0}=k \times\frac{S}{N}\times\frac{W}{R_b}=\frac{S}{N} \times TW\tag{3}$

6. SNR、ebno與esno

由以上推導可以看出$S/N$、$E_b/N_0$與$E_s/N_0$是線性關係，仿真時候可以當成一個參數看待，它們的dB形式一般用$SNR$、$ebno$和$esno$表示，於是有
$\begin{aligned} esno&=ebno+10lg(k) \\ ebno&=SNR-10lg(R_b/W) \\ esno&=SNR+10lg(TW) \end{aligned}$

7. 通信系統仿真☆☆☆

首先要明白這三個信噪比的概念。

• $SNR$：每個採樣點上的信噪比，也是MATLAB中AWGN函數需要輸入的信噪比；
• $E_b/N_0$：比特信噪比，指的是每bit的能量與噪聲功率譜密度之比，也是BER差錯性能曲線的橫軸（BER是指比特誤碼率）；
• $E_s/N_0$：符號信噪比，指的是每個符號的能量與噪聲功率譜密度之比。

相互轉換（與6中基本相同，再重複寫一遍）：

1. $E_b/N_0$與$E_s/N_0$之間的關係：
   $E_s/N_0(dB)=E_b/N_0(dB)+10lg(k) \tag{4}$
   2. $E_b/N_0$與$SNR$之間的關係：
   $E_b/N_0(dB)=SNR(dB)-10lg(R_b/W) \tag{5}$

2. $E_s/N_0$與$SNR$之間的關係：
   對於實信號：
   $E_s/N_0(dB)=SNR(dB)+10lg(0.5*T/T_s) \tag{6}$

   對於覆信號：$E_s/N_0(dB)=SNR(dB) +10lg(T/T_s) \tag{7}$

當我們要使用AWGN這個函數的時候要通過一系列轉換成需要的SNR。

下面給出（6）的簡單推導：
由（3）式可知
$\frac{E_s}{N_0}=\frac{S}{N} \times TW$

根據低通採樣定理，此處令$f_s=2f_m=2W$

則，$W=f_s/2=\frac{1}{2T_s}$

帶入（3）得$\frac{E_s}{N_0}=\frac{S}{N} \times \frac{T}{2T_s}$

等式兩邊取dB形式即得（6）。

對於覆信號，參考文章1中給出的解釋是：覆信號的功率譜密度爲單邊，實信號的功率譜密度爲雙邊，所以在相同信號功率的前提下覆信號的帶寬減半，功率譜密度加倍。因此實信號與覆信號相差一個係數。（注：此解釋也不是很清晰，如果之後我有好的理解方式，會給出更詳細的解釋）

mathworks官方幫助文檔也對此給出了說明，可參考：AWGN Channel

8. 仿真中的參數設置問題

• 爲什麼要將$E_b/N_0$轉換爲$SNR$呢？
  因爲要加入高斯白噪聲信道，高斯白噪聲信道的噪聲參數是與$SNR$直接相關的，所以要將$E_b/N_0$轉換爲$SNR$。

• 爲什麼仿真要用$E_b/N_0$，而不用$SNR$呢？
  因爲用$E_b/N_0$可以直觀的看到系統性能，比如只採用QPSK，那麼BER達到千分之一時，$E_b/N_0$大約爲7；而採用單用戶，進行了信道編碼與均衡，採用QPSK星座映射，但$E_b/N_0$爲7時，BER爲百分之一，那就證明系統設計有問題或者仿真出錯了。因爲$SNR$和$E_b/N_0(dB)$是線性關係，所以用$SNR$爲參數看BER只能看到大概的趨勢，不能看到系統性能到底如何。

  總的來說，就是用$E_b/N_0$（作爲BER差錯性能曲線的橫軸）來做通信系統仿真，觀察系統性能，而當仿真過程中要使用AWGN Channel（加性高斯白噪聲信道）時，需要將$E_b/N_0$轉換爲$SNR$作爲AWGN信道參數輸入。

轉換公式：
$E_b/N_0(dB)=SNR(dB)-10lg(R_b/W)$其中，$\eta=R_b/W$稱爲頻帶利用率：單位頻帶內的信息傳輸速率，單位：bit/(s·Hz)

參考文章

1. 信噪比SNR , Eb/N0 , Es/N0區別與聯繫之深入剖析
2. 通信系統仿真中SNR，Eb/N0，Es/N0的區別與聯繫
3. SNR到底怎麼用EbNo表示

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