同餘對於防止數的溢出和對某些題有着特殊的作用，博主學的也不深，就對簡單的同餘應用進行一個分享。（中間的乘號不是我不打，是這個乘號會將文章佈局弄亂，blog缺陷）
先列舉幾個公式
在此之前，先證明一個公式：如果a%n=b%n，就說a與b同餘，則（a-b）%n=0。也就是說a-b是n的整數倍。爲什麼呢？
你想想，如果a%n=0,則a=a%n+(a/n)n,後面一項的/號是整除，也就是說任意一個數能分爲取餘部分和整倍數部分。
則a=a%n+a1n(a1爲整數)，b=b%n+b1n(b1爲整數)，b-a中，取餘部分相同，最終爲（b1-a1)n,a1,b1都爲整數，所以b1-a1實際上可以取任意整數，所以（b1-a1)n爲n的倍數，所以b-a爲n的倍數。
實際上，前面已經說了a=a%n+a1n(a1爲整數)實際上就已經證明出來了。所以以後就可以直接用，如果某個數與a同餘則那個數b=a+tn（t爲任意整數，n爲同餘的那個數），當然這個結論是充分必要的，可以反着用。
下面推出幾個推論
1：（a+b）%n=((a%n)+(b%n))%n;
將a,b分解爲取餘部分和整除部分，由同餘定理的逆用，可知a%n=(a-tn)%n。當然，數學還有一個任意替代原理，就是說你a可以換爲a+b，a+b+c,ab…就是你要把a看爲一個整體，怎麼換都可以，而(a%n)+(b%n)是不是相當於a-(a/n)n+b-(b/n)n=a+b-(a/n+b/n)n=a+b-tn。（/號爲整除，a+b看爲整體）
2：當然你們可能也發現了，上面證明過程實際上還是有一點點問題，就是說還可能是負數對吧，我先說一下，上面要求結果都是正數，當然t可以是負數。博主查了一下資料，由於不同機器實現等原因，負數取模還沒有一個可靠的概率，可能有，我沒查到。但大家建議都用正數啊。
（a-b）%n=((a%n)-(b%n)+n)%n 這個式子我就不來證明了，就說一下由於(a%n)-(b%n)可能爲負數當然負數小於n，所以加上n。
3：ab%n=((a%n)(b%n))%n
如果ab都小於n，相當於什麼都沒做，自然成立，如果a，b有大於n的，則a=a1+t1n,b=b1+t2n,相乘之後有a1*b1+…後面都是n的倍數，直接可以減掉。
以上三個式子加上任意替換原則，可以得出：
要計算只包含加法，減法和乘法的整數表達式除以正整數n的餘數，可以在每步計算之後對n取餘，結果不變。
可以幹嘛，可以防溢出，還有其他作用。
下面是一道例題：
**給出正整數 n 和 m，統計滿足以下條件的正整數對 (a,b) 的數量：
- 1≤a≤n,1≤b≤m;
- a×b 是 2016 的倍數。
Input
輸入包含不超過 30 組數據。
每組數據包含兩個整數 n,m (1≤n,m≤10 9).
Output
對於每組數據，輸出一個整數表示滿足條件的數量。
Sample Input
32 63
2016 2016
1000000000 1000000000
Sample Output
1
30576
7523146895502644**
詳解在代碼中
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
ll minx(ll a,ll b){
return a<b?a:b;
}
/*
這題看數據很可能會爆int，用long long，
看數據多少，用枚舉肯定會超時。
*/
int main()
{
ll n,m,ans=0,i,j,x,y;
/*
我解釋一下，如果a*b%2016=0
則（a+t1*2016）*(b+t2*2016)%2016=0,你展開一下就可以發現成立。
爲什麼我上面那三個公式的證明過程寫的那麼詳細，
因爲實際上根據那樣的方法可以證明出各種不一樣的公式
但原理就那些，要學會舉一反三 。
*/
while((scanf("%lld %lld",&n,&m))==2)
{
ans=0;
/*
所以實際上，你求一下在1到2016之間有多少個整數對i,j滿足
相乘爲2016的倍數，然後看一下對於每隊滿足條件的i，j這兩個數分別可以加上多少個2016 。
即設在1到n中，有存在n個t整數值滿足x=i+2016*t,
同理求y，相乘個數。
最終再加起來即可
*/
for(i=1;i<=minx(n,2016);i++){
for(j=1;j<=minx(m,2016);j++){
if((i*j)%2016==0){
x=n/2016;
y=m/2016;
if(n%2016>=i)x++; //因爲整除可能有損失，比如對於i，如果n=i+1+2016k，那就有k+1個
if(m%2016>=j)y++; // 如果 n=i-1+2016k，那只有k個
ans+=x*y;
}
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
}