“最短路徑算法:Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法等。從某頂點出發，沿圖的邊到達另一頂點所經過的路徑中，各邊上權值之和最小的一條路徑叫做最短路徑。”
我們解決最短路徑問題，常用的是Dijkstra與Floyd算法
Dijkstra（迪傑斯特拉）算法
他的算法思想是按路徑長度遞增的次序一步一步併入來求取，是貪心算法的一個應用，用來解決單源點到其餘頂點的最短路徑問題。
算法思想
首先，我們引入一個輔助向量D，它的每個分量D[i]表示當前找到的從起始節點v到終點節點vi的最短路徑的長度。它的初始態爲：若從節點v到節點vi有弧，則D[i]爲弧上的權值，否則D[i]爲∞，顯然，長度爲D[j] = Min{D[i] | vi ∈V}的路徑就是從v出發最短的一條路徑，路徑爲(v, vi)。
那麼，下一條長度次短的最短路徑是哪一條呢？假設次短路徑的終點是vk，則可想而知，這條路徑或者是(v, vk)或者是(v, vj, vk)。它的長度或者是從v到vk的弧上的權值，或者是D[j]和從vj到vk的權值之和。
一般情況下，假設S爲已知求得的最短路徑的終點集合，則可證明：一下條最短路徑（設其終點爲x）或者是弧(v, x)或者是中間只經過S中的頂點而最後到達頂點x的路徑。這可用反證法來證明，假設此路徑上有一個頂點不在S中，則說明存在一條終點不在S中而長度比此路徑短的路徑。但是這是不可能的。因爲，我們是按路徑常度的遞增次序來產生個最短路徑的，故長度比此路徑端的所有路徑均已產生，他們的終點必定在S集合中，即假設不成立。
因此下一條次短的最短路徑的長度是：D[j] = Min{D[i] | vi ∈ V - S}，其中，D[i]或者是弧(v, vi)的權值，或者是D[k](vk ∈ S)和弧(vk, vi)上權值之和。
算法描述
假設現要求取如下示例圖所示的頂點V0與其餘各頂點的最短路徑：
我們使用Guava的ValueGraph作爲該圖的數據結構，每個頂點對應一個visited變量來表示節點是在V中還是在S中，初始時S中只有頂點V0。然後從nodes集合中遍歷找出從V0出發到各節點路徑最短的節點，並將該節點併入S中（即修改該節點的visited屬性爲true），此時就找到了一個頂點的最短路徑。然後，我們看看新加入的頂點是否可以到達其他頂點，並且看看通過該頂點到達其他點的路徑長度是否比從V0直接到達更短,如果是，則修改這些頂點的權值(即if (D[j] + arcs[j][k] < D[k]) then D[k] = D[j] + arcs[j][k])。然後又從{V - S}中找最小值，重複上述動作，直到所有頂點都併入S中。
Floyd（弗洛伊德）算法
Floyd算法是一個經典的動態規劃算法。是解決任意兩點間的最短路徑(稱爲多源最短路徑問題)的一種算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題。（動態規劃算法是通過拆分問題規模，並定義問題狀態與狀態的關係，使得問題能夠以遞推（分治）的方式去解決，最終合併各個拆分的小問題的解爲整個問題的解。）
算法思想
從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能：1)直接從節點i到節點j，2)從節點i經過若干個節點k到節點j。所以，我們假設arcs(i,j)爲節點i到節點j的最短路徑的距離，對於每一個節點k，我們檢查arcs(i,k) + arcs(k,j) < arcs(i,j)是否成立，如果成立，證明從節點i到節點k再到節點j的路徑比節點i直接到節點j的路徑短，我們便設置arcs(i,j) = arcs(i,k) + arcs(k,j)，這樣一來，當我們遍歷完所有節點k，arcs(i,j)中記錄的便是節點i到節點j的最短路徑的距離。（由於動態規劃算法在執行過程中，需要保存大量的臨時狀態（即小問題的解），因此它天生適用於用矩陣來作爲其數據結構，因此在本算法中，我們將不使用Guava-Graph結構，而採用鄰接矩陣來作爲本例的數據結構）
算法分析及描述
假設現要求取如下示例圖所示任意兩點之間的最短路徑：
我們以一個4x4的鄰接矩陣（二維數組arcs[ ][ ]）作爲圖的數據結構。比如1號節點到2號節點的路徑的權值爲2，則arcs[1][2] = 2，2號節點無法直接到達4號節點，則arcs[2][4] = ∞(Integer.MAX_VALUE)，則可構造如下矩陣：
有向圖的初始鄰接矩陣
根據以往的經驗，如果要讓任意兩個頂點（假設從頂點a到頂點b）之間的距離變得更短，唯一的選擇就是引入第三個頂點（頂點k），並通過頂點k中轉（a -> k ->b）纔可能縮短頂點a到頂點b之間的距離。於是，現在的問題便分解爲：求取某一個點k，使得經過中轉節點k後，使得兩點之間的距離可能變短，且還可能需要中轉兩個或者多個節點才能使兩點之間的距離變短。比如圖中的4號節點到3號節點（4 -> 3）的距離原本是12（arcs[4][3] = 12），如果在只通過1號節點時中轉時（4 -> 1 ->3），距離將縮短爲11（arcs[4][1] + arcs[1][3] = 5 + 6 = 11）。其實1號節點到3號節點也可以通過2號節點中轉，使得1號到3號節點的路程縮短爲5（arcs[1][2] + arcs[2][3] = 2 + 3 = 5），所以如果同時經過1號和2號兩個節點中轉的話，從4號節點到3號節點的距離會進一步縮短爲10。於是，延伸到一般問題：
1、當不經過任意第三節點時，其最短路徑爲初始路徑，即上圖中的鄰接矩陣所示。
2、當只允許經過1號節點時，求兩點之間的最短路徑該如何求呢？只需判斷arcs[i][1]+arcs[1][j]是否比arcs[i][j]要小即可。arcs[i][j]表示的是從i號頂點到j號頂點之間的距離，arcs[i][1] + arcs[1][j]表示的是從i號頂點先到1號頂點，再從1號頂點到j號頂點的路程之和。循環遍歷一遍二維數組，便可以獲取在僅僅經過1號節點時的最短距離。
總結
1.Dijkstra算法是計算圖中的一個點到其它點的最小路徑.
算法思路: 貪心算法.
將圖中所有點分成 S(已求出解)和U(未求出解)2個點集.dist[i]表示v0到v[i]當前已求得得最短路徑.A[n][n]爲邊集
1.從剩下的邊集合中選出dist最短的邊並將邊的另一頂點vi從U中加入S.
2.更新與vi連接的所有且並未在S中的點的dist矩陣值,dist[vk]=min(dist[vk],dist[vi]+A(i,k)).
3.重複上述操作直到U中無與S中的點相連的點.
2.Floyd算法計算圖中任意一對點的最短路徑.
算法思路: T(n)=O(n^3).
動態規劃法: Dis(i,j) =min(Dis(i,j), Dis(i,k) + Dis(k,j)).
3.Dijkstra算法爲啥不能存在負數邊?
Dijkstra中S(已求出解)中的每一個點解即最短路徑是已求出的,若存在負數路徑,可能存在已求出的解不是最優解.
面試題
