這篇博客討論一下常見的快慢指針算法
緣起
自從刷leetcode以來，已經碰見過很多次應用快慢指針算法的題目了，但是每次都是直接刷過，並沒有好好思考爲什麼要這麼做，這篇博文來探討一下快慢指針一些常見的問題，瞭解這些問題可能對你刷題並沒有很大的幫助，但是會讓你對快慢指針瞭解的更加深刻。
什麼是快慢指針
快慢指針中的快慢指的是移動的步長，即每次向前移動速度的快慢。例如可以讓快指針每次沿鏈表向前移動2，慢指針每次向前移動1次。
--------來自百度百科
上述描述了快慢指針算法的基本內容，其實瞭解這些東西，再看一個例題，差不多就可以開始利用快慢指針來解題了，但是本文探討的是另外的問題。先來看個題理解一下快慢指針算法吧。
快慢指針的一類常見應用就是判斷鏈表是不是含有環，如：141.環形鏈表。基本思路就是快慢指針遍歷，如果相遇就表示有環，反之則沒有。基本代碼如下：
bool hasCycle(struct ListNode *head) {
if(NULL == head)
return false;
struct ListNode *fast = head;
struct ListNode *slow = head;
while(slow && fast && fast->next){
slow = slow->next; // 慢指針每次走一步
fast = fast->next->next; // 快指針每次走兩步
if(slow == fast)
return true;
}
return false;
}
本文核心
問題一：爲什麼快指針每次移動2，慢指針每次移動1？
我看過的幾乎所有的快慢指針的題解都是快指針每次移動2，慢指針每次移動1，這樣毫無疑問是正確的，但是爲什麼呢？能不能快指針每次移動3呢？首先來分析一下快指針移動2，慢指針移動1的情況，
情況一：環爲奇數
很明顯，這個鏈表有環，分析一下slow和fast的指向的結點
slow：0、1、2、3、4、5、6、7
fast： 0、2、4、6、1、3、5、7
根據上面的值，兩者在結點7時相遇，正好是慢指針轉一圈（第一圈還沒轉完，但是爲了便於描述採用這種方式），快指針轉兩圈的時候。
情況二：環爲偶數
同樣看一下slow和fast的值
slow：0、1、2、3、4、5、6
fast： 0、2、4、6、2、4、6
同樣是快指針轉兩圈，慢指針轉一圈。當然以上兩種情況並不完整，但是已經足以說明問題。有興趣的可以試試快慢指針都從環的入口結點進入環的情況，對應上圖就是slow和fast第一個值都是1的情況。
回到正題，爲什麼會出現如上的情況呢，都是快指針轉兩圈慢指針轉一圈的時候相遇呢？下面從數學方面解釋一下：
假設鏈表無環部分結點有 m 個，環的結點個數爲 n 個。慢指針走了 t 步之後與快指針相遇，那麼慢指針在環中走的步數爲 t - m ，快指針爲 2t - m。此時快、慢指針必然是在環中；假設是在環入口後的第 x 個結點相遇，慢指針走了k1圈，快指針走了k2圈。則有
t - m = k1 * n + x
2t - m = k2 * n + x
加減消元求出 t = (k2 - k1) * n；也就是說慢指針走過n步後與快指針第一次相遇。這部分內容參考：證明 ：快慢指針可以判斷單鏈表是否有環
再來看看快指針每次走三步，慢指針每次走一步的情況，以下面這個圖爲例：
slow：0、1、2、3、4、5、6、7
fast： 0、3、6、2、5、1、4、7
可以看出，仍然是慢指針經過 n 步之後與快指針第一次相遇，但是這時候的快指針已經走了三圈。可以驗證快指針走四步，慢指針走一步的情況，還是會相遇，但是快指針轉了四圈了。
從上面的分析可以看出，快指針可以不是2，但是爲什麼大家都喜歡寫2呢？
先把上面的代碼copy下來
bool hasCycle(struct ListNode *head) {
if(NULL == head)
return false;
struct ListNode *fast = head;
struct ListNode *slow = head;
while(slow && fast && fast->next){
slow = slow->next; // 慢指針每次走一步
fast = fast->next->next; // 快指針每次走兩步
if(slow == fast)
return true;
}
return false;
}
我猜測是這樣的，當選擇快指針每次移動三個單位時，上面while循環的條件判斷會增加，不然很可能（這裏我想說一定的，但是有些特例不會）會報空指針錯誤。因此快指針每次移動2，慢指針移動1是一種比較好的思路。另外不要以爲每次都是在環的最後一個結點相遇。
問題二：如何判斷環的入口結點和環大小
從上面問題一的討論可以看出，取快指針爲2，慢指針爲1是比較好判斷鏈表是否有環的方法。下面需要討論的是，在鏈表有環的基礎上如何找到環的入口。假設有如下鏈表。
先看一下slow和fast的值，slow和fast會在哪個結點相遇
slow：1、2、3、4、5、6、7
fast： 1、3、5、7、3、5、7
ok，slow和fast會在結點7相遇，而且很容易得到，下一次相遇也是在7這個結點。假設slow經過 t 步之後到達7，那麼fast經過了 2t 步。而且可以肯定slow再經過 t 步之後還是在結點7這個位置，爲啥？（t + t = 2t）。現在將fast重新移動到head處，即結點1所在位置，slow仍然指向結點7，然後slow和fast每次都前進一步（也就是fast和slow步長一樣了），那麼他們相遇的第一個結點就是環的入口。爲什麼？
上面已經說過了，slow是經過了 t 步之後到達7，並且slow再經過 t 步之後仍然是結點7。將fast移動到head之後，每次前進1，t 步之後會和slow重逢（相當於一開始的slow）。來看看slow和fast的路徑：
slow：7、8、3、4、5、6、7
fast： 1、2、3、4、5、6、7
注意到了嗎，3、4、5、6、7這一串是公共的路徑，因此 3 就是環的入口結點。
分析到這一步之後，如果要求環的大小也很容易了。不用fast指向head，直接從第一次相遇的位置，fast和slow指向不變，fast每次移動2，slow每次移動1，設置個count，計算下次相遇經過了多少結點就可以了。
結束語
到了這裏，本文基本結束了，但是並不意味着這是快慢指針的全部內容，只是博主僅僅見識到了這些、僅僅想到了這些內容罷了，如果大家關於快慢指針還有啥有意思的問題，或者本文未曾提到的知識，歡迎留言和私信。我會盡量弄明白，並且按照情況更新到這篇文章中。
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reference
leetcode – 287. 尋找重複數 ｜ 陳牧遠的回答
證明 ：快慢指針可以判斷單鏈表是否有環
快慢指針尋找環入口——學習筆記
快慢指針判斷單向鏈表是否有環及找環入口
141. 環形鏈表