本文閱讀大概需要45分鐘，獨立編程需要兩天，建議預留充足的時間和咖啡。
（友情提示，筆者基本未參考網絡資料，邊思考邊寫代碼，100%乾貨，學AVL看這一篇就夠了）
學樹的順序，一般來說是：二叉樹->二叉查找樹->AVL樹->2-3-4樹->紅黑樹。它們的難度依次遞增。不得不說的是，樹是計算機科學最重要研究課題之一。在算法類面試當中，樹的考察也是不可或缺的。
先簡單回顧一下二叉查找樹：
一棵空樹，或者是具有下列性質的二叉樹：
（1）若左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；
（2）若右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值；
（3）左、右子樹也分別爲二叉排序樹；
（4）沒有鍵值相等的結點。
讓我們介紹一種全新的自平衡二叉樹（斜體加粗表示這玩意很酷炫）。相信在你學完並且理解之後。會覺得之前學的樹都太low了。
你可能覺得AVL是某些niubilious（自造詞，牛批的意思）的英文縮寫。事實是，AVL樹的名字來源於它的發明作者G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis。AVL樹是最先發明的自平衡二叉查找樹（Self-Balancing Binary Search Tree,簡稱平衡二叉樹）。
它的特點是：左右子樹高度差（平衡因子）的絕對值小於等於1. （紅色加粗的字體表明你應該記住這句話）
下面邀請插畫師turtle配合演示，事實上，整個AVL樹的插入和刪除操作我們都會作圖演示，保證你能看懂：
感謝turtle先生，你今天的粉色畫筆非常好看！
數字代表val，字母代表payload。你可以藉助字典中的key和value來理解。最下面的數字，我們稱爲平衡因子（balance factor,bf）。只有一棵樹所有節點平衡因子在1,0,-1之間，這棵樹纔是平衡的。 所謂的樹的高度，就是垂直方向，從當前節點到根節點的最大深度。平衡因子等於左右子樹高度差，葉子節點平衡因子一定爲0。
爲什麼要滿足這個條件呢？（斜體表示你問了一個問題）因爲我們希望一棵樹儘量對稱均勻，看起來漂亮（刪除線表示這是錯誤的理解）我們先區分兩個概念
- 滿二叉樹：除最後一層無任何子節點外，每一層上的所有結點都有兩個子結點的二叉樹爲滿二叉樹（國內定義）。
- 完全二叉樹：若設二叉樹的深度爲k，除第 k 層外，其它各層 (1～k-1) 的結點數都達到最大個數，第k 層所有的結點都連續集中在最左邊，這就是完全二叉樹。
AVL樹是一種完全二叉樹，因爲這個特性，我們發現它的插入，刪除操作最好最壞的情況都是log(n)。
這是怎麼得來的？ 你如果只是死記而不理解的話，這會很糟糕，你可能會記混淆。一棵完全二叉樹的深度設爲k ， 那麼前k-1層一共有2^(k-1)-1個節點，最後一層節點數最少爲0，最多爲2^(k-1)。設節點總數爲N。那麼2^(k-1)-1<=N<=2^(k-1)-1+2^(k-1)=2^k-1。解得： k-1<Log2(N+1)<k，按照層數遞歸的思想，我們的時間複雜度就是O(logN)量級的。
由於之前的博客已經講解了二叉查找樹。下面讓我們思考，在插入過程如何保持二叉樹動態平衡。
希望你能保持足夠的耐心，關閉音樂，集中注意力，只要不是咖啡撒到鍵盤上就行。
def put (self, val, payload):
if self.root:
self._put(val, payload,self.root)
else:
self.root = BSTNode(val,payload)
def _put(self,val,payload,currentNode):
if val <= currentNode.val:
if not currentNode.left_child:
left_new = BSTNode(val,payload,parent=currentNode)
currentNode.left_child = left_new
else:
self._put(val,payload,currentNode.left_child)
else:
if not currentNode.right_child:
right_new = BSTNode(val,payload,parent=currentNode)
currentNode.right_child = right_new
else:
self._put(val,payload,currentNode.right_child)
這是BST插入的相關代碼。下面介紹添加節點時的平衡操作：
Put方法實現
- 我們先考慮當前節點bf的變化，如果當前節點的bf大於1或小於-1，說明我們需要進行旋轉操作，下面我會詳細介紹；否則在當前節點爲左子節點時，我們將其父節點的bf加 1，當前節點爲右子節點，其父節點減1. 這裏其實是一個遞歸操作，每當子節點改變，其上層的所有父節點需要改變，除非某個父節點的平衡因子爲0.
- 我們先介紹幾種平衡方法：左旋(L_Rot)，右旋(R_Rot)，LR雙旋(LR_doubRot)，RL雙旋(RL_doubRot)。它們是你前所未見的炫操作。
1.左旋（感謝Sun_TTTT博客精彩配圖）
簡而言之就是某個節點的父節點變成了其左子節點，對於原來的左子節點，變成原來父節點的右節點。
2.右旋
簡而言之就是某個節點的父節點變成了其右子節點，對於原來的右子節點，變成原來父節點的左節點。
3.LR雙旋
它是左旋和右旋的結合版。
4.RL雙旋
LR雙旋的相反版本。
至於AVL是如何設計出這樣的結構，這不是人類考慮的問題了。但是筆者理解是，爲了保持節點平衡，儘可能降低樹的高度，在紅黑樹中也有類似的操作。
好了，介紹了這幾種旋轉方法，我猜你已經暈頭轉向了。但是好戲剛剛開始。
- 關於旋轉：什麼時候進行什麼樣的旋轉？我們需要一點想象力(Ignite your Imagination)。
- 對於直線型結構和迴旋鏢型結構，如下圖所示。在當前節點的平衡因子小於-1且左子節點不存在並且當前節點的右子節點的左子節點存在，那麼表示我們需要進行RL雙旋，否則進行左旋；在當前節點的平衡因子大於1且右子節點不存在並且當前節點的左子節點的右子節點存在，那麼表示我們需要進行LR雙旋，否則進行右旋。
代碼如下，供參考：
def renew_balance_factor(self,currNode:AVLNode):
if currNode.balance_factor>1 or currNode.balance_factor<-1:
if self.isrebalance: self.rebalance(currNode)
return
if currNode.isLeftChild():
currNode.parent.balance_factor+=1
elif currNode.isRightChild():
currNode.parent.balance_factor-=1
if currNode.parent!=None and currNode.parent.balance_factor != 0 :
self.renew_balance_factor(currNode.parent)
def rebalance(self,currNode:AVLNode):
if currNode.balance_factor>1:# left-heavy sub tree
if not currNode.right_child and currNode.left_child.right_child:
self.LR_doubRot(currNode)
return
else:
self.R_Rot(currNode)
elif currNode.balance_factor<-1:# right-heavy sub tree
if not currNode.left_child and currNode.right_child.left_child:
self.RL_doubRot(currNode)
else:
self.L_Rot(currNode)
- 旋轉後平衡因子如何更新
我們在BST中插入節點，如果發現某個節點的平很因子大於1或小於-1。就表示我們該進行自平衡操作了。進行R單旋的情況是直線型結構：
我們只需要將當前節點16繞7旋轉至其右節點即可。其他節點不作改變。我們旋轉的同時也必須考慮平衡因子的變化，這裏會涉及
到比較複雜的數學推導，不過沒必要緊張，你完全可以畫圖理解。
我們只需要更新A和B的平衡因子即可。
上面的new old 分別表示新老節點，h(·)表示節點高度。你看到這可能已經躍躍欲試了，數學可是我的強項呀！ L單旋同理。
很不幸的是，對於大部分人，包括筆者，數學都不是我們的強項！所以我們需要調動程序員思維。正所謂“車到山前必有路”。
思考替代方案中。。。
很棒，你已經有了思路，我可以直接獲取節點的高度啊！只需要編寫一個get_node_bf（）函數就行了。需要注意的是，我們需要得到的是該節點左右子樹中高度的最大值。所以我們必須進行遞歸左右子樹，左右子樹的“路徑”，個數我們不知道：按照h(Node) = 1 + max(h(left_child),h(right_child)). 因此我們需要用兩個列表path_level_l 和 path_level_r 來分別存儲左右子樹各個路徑的高度。最後套用公式就是該節點的高度。
我們稍微整理一下思路寫出代碼：
def get_level(node,depth,path_level):
if not node: return 0
if node.isLeaf(): path_level.append(depth);return
depth+=1
if node.left_child:
get_level(node.left_child,depth,path_level)
if node.right_child:
get_level(node.right_child,depth,path_level)
如果是葉子節點其高度爲1，bf爲0，我們再寫一個求節點bf的函數：
def get_node_bf(self,currNode:AVLNode)->int:
# obtain current node's bf
max_l = max_r =0
path_level_l = []
path_level_r = []
if currNode.isLeaf():
return (max_l-max_r)
else:
get_level(currNode.left_child,1,path_level_l)
get_level(currNode.right_child,1,path_level_r)
if not path_level_l: max_l = 0
else:max_l = max(path_level_l)
if not path_level_r: max_r = 0
else: max_r = max(path_level_r)
return (max_l - max_r)
- 進行LR單旋的是“迴旋鏢型結構”：
我們同樣進行平衡因子的動態更新，不過這次只用調用get_node_bf函數即可。注意C先變爲B的父節點，B爲C左子節點，A再變爲C的右子節點，C的父節點改爲A的父節點。A的父節點改爲C是不是非常簡單呢？
- 下面我們將上述過程可視化：
以下面數據爲例：
data = {16:'A',3:'B',7:'C',11:'D',9:'E',26:'F',18:'G',14:'H',15:'I'}
大家可以自行驗證另一個完全相反的過程，檢查自己的代碼有無紕漏。
好了，非常高興你能堅持看到這，如果你覺得困的話，可以明天再看刪除操作：
Del 方法實現
你已經喝完了咖啡，是否還感覺困呢？咖啡不要放太多糖。
Del 方法比put方法稍微複雜一點，但是我們有了put的相關方法，因而不會太麻煩。我們構建了上述二叉樹，現在嘗試依次刪除150，130，160，140，155，120，157。
刪除有三種情況：
- 刪除葉子節點；
- 刪除節點只有一個子節點；
- 刪除節點有兩個子節點。
如果你認真看了我關於二叉查找樹的博客的話，會發現萬變不離其宗。我們只需要在每次刪除節點後更新bf即可。爲此我們設計函數update_del_bf（）。如果我們發現當前節點不平衡，就將其通過旋轉的方式平衡，繼續更新它的父節點；如果節點平衡，我們依次更新父節點，直到父節點爲None止。
代碼如下：
def update_del_bf(self,currNode:AVLNode):
if not currNode:return
currNode.balance_factor = self.get_node_bf(currNode)
if currNode.balance_factor>1 or currNode.balance_factor<-1:
if self.isrebalance: self.rebalance(currNode)
self.update_del_bf(currNode.parent)
return
if currNode.parent:#update all parent bf
self.update_del_bf(currNode.parent)
好了刪除操作我們也完成了，下面以圖片的形式展示整個刪除過程。
上面就是，整個插入和刪除的過程，相信你一定會有許多收穫或者疑問，歡迎留言或者email [email protected]。
下一期介紹紅黑樹*