【數論】B047_LQ_JM boy 去爬山（全排列 / 找規律）

一、Problem

輸入

輸入一個整數 n，表示數列元素的個數。

輸出

輸出山峯排列的個數。

3
4

共有以下4種方案： 123、132、231、321

數據規模

對於60%的數據 n <= 10
對於100%的數據 n <= 60

二、Solution

方法一：全排列

這瞎寫了…的 9/18 分，全排列一下，判斷一下…

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
		int[] a;
		int n, res;
		boolean has() {
			boolean down = false;
			for (int i = 0; i < n-2; i++) {
				if (a[i] > a[i+1])
					down = true;
				if (down && a[i+1] < a[i+2])
					return true;
			}
			return false;
		}
		void dfs(int k) {
			if (k == n) {
				if (!has()) 
					res++;
				return;
			}
			for (int i = k; i < n; i++) {
				swap(a, i, k);
				dfs(k+1);
				swap(a, i, k);
			}
		}
        void swap (int[] a, int l, int r) {
        	int t = a[l];
        	a[l] = a[r];
        	a[r] = t;
        }
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			BufferedWriter w = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
			n = sc.nextInt();
			if (n <= 2) {System.out.println(n); return;}
			a = new int[n];
			for (int i = 0; i < n; i++) {
			    a[i] = i+1;
			}
			dfs(0);
			System.out.println(res);
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(...)$，
• 空間複雜度：$O(...)$，

---

方法二：找規律

比如 1、2、3、4、5，當 4 在第三個位置時，前面的兩個數構成升序序列，後面的兩個數構成降序序列。前面兩個數通過 $C_4^2$ 選出，後面的三個數肯定也就確定了。這樣，所有滿足條件的排序數位 $C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+……+C_{n-1}^{n-1}C$，即由二項式定理得結果爲 $2^{n-1}$。

關於冪運算，提供兩種方法：

• 位運算
• 快速冪

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
        long quick(long b, long p) {
        	long res = 1;
        	while (p > 0) {
        		if ((p&1) == 1) {
        			res = res * b;
        		}
        		b = b * b;
        		p >>= 1;
        	}
        	return res;
        }
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			int n = sc.nextInt();
			long res = quick(2, n-1);
			System.out.println(res);
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(logP)$，
• 空間複雜度：$O()$，