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原題鏈接
簡要題意:
求
i=1∑nj=1∑md(ij)
其中,d(x) 表示 x 的因數個數。
算法一
爆搜。
時間複雜度:O(Tnmnm).(T 的飛起)
期望得分:0pt.
算法二
考慮每個數作爲其它數因數所產生的貢獻。
時間複雜度:O(T×min(n,m)). (海星吧)
期望得分:0pt.
算法三
一言不合就推式子
i=1∑nj=1∑md(ij)
=i=1∑nj=1∑mx∣i∑y∣j∑[gcd(x,y)==1]
=x=1∑ny=1∑m[gcd(x,y)==1]i=1∑⌊xn⌋j=1∑⌊ym⌋1
=x=1∑ny=1∑m[gcd(x,y)==1]⌊xn⌋×⌊ym⌋
=i=1∑nj=1∑m[gcd(i,j)==1]⌊in⌋×⌊jm⌋
顯然到了這裏式子推完,我們需要 莫比烏斯反演。
設
fx=i=1∑nj=1∑m[gcd(i,j)==x]⌊in⌋×⌊jm⌋
gx=x∣i∑fi
則
gx=i=1∑nj=1∑m[x∣gcd(i,j)]⌊in⌋×⌊jm⌋
=i=1∑nj=1∑m⌊ixn⌋×⌊jxm⌋
答案爲 f1,由 莫比烏斯反演 得:
fx=x∣d∑μxdgd
則
f1=x∣1∑μ1dgd
=x=1∑nμdgd=i=1∑nμigi
再瞅一眼這個 g 的定義:
gx=i=1∑nj=1∑m⌊ixn⌋×⌊jxm⌋
首先我們需要預處理
sx=i=1∑x⌊ix⌋
可得:
gx=s⌊xn⌋×s⌊xm⌋
顯然 s 可以 整除分塊,所以 g 也可以 整除分塊,預處理 μ 即可。
時間複雜度:O(nn+Tn)
實際得分:100pts.
#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+1;
inline int read(){char ch=getchar(); int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
int mu[N],prime[N],tot=0; bool h[N];
ll s[N],ans=0; int T,n,m;
inline void Euler() {
mu[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++) {
if(!h[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<N;j++) {
h[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) {mu[i*prime[j]]=0;break;}
mu[i*prime[j]]-=mu[i];
}
} for(int i=1;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-1];
for(int i=1;i<N;i++) {
ll k=0;
for(int j=1;j<=i;) {
int t=i/(i/j); k+=1ll*(t-j+1)*(i/j);
j=t+1;
} s[i]=k;
}
}
int main() {
Euler(); T=read(); while(T--) {
n=read(),m=read();
ans=0; for(int i=1;i<=min(n,m);) {
int t=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=1ll*(mu[t]-mu[i-1])*s[n/i]*s[m/i];
i=t+1;
} printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}