題解 P4449 【於神之怒加強版】

給定n,m,k,計算

$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \mathrm{gcd}(i,j)^k$

對 $1000000007$ 取模的結果

前置知識

• 莫比烏斯反演
• 數論分塊

式子還是正常的推

首先，$ID_k(x)=x^k$

$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} ID_k(gcd(i,j))$

$\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [\gcd(i,j) =d]$

$\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} [\gcd(i,j) =1]$

$\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} \sum_{D\mid \gcd(i,j)} \mu(D)$

$\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{D=1}^{\min(n,m)}\mu(D)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dD}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{dD}\rfloor} 1$

$\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{D=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\mu(D)\lfloor \frac{n}{dD} \rfloor \lfloor \frac{m}{dD} \rfloor$

設 $T=dD$
$\sum_{T=1}\lfloor \frac{n}{T} \rfloor \lfloor \frac{m}{T} \rfloor \sum_{d|T} ID_k(d) \mu(\frac{T}{d})$
我們發現後面這個東西就是狄利克雷卷積

我們管它叫 $f$ 函數

也就是說

$f=ID_k*\mu$

由於積性函數卷積性函數還是積性函數

對於 $x\in prime$ $f(x)=x^k-1$

這樣子就直接在線性篩的時候算一下就好了

代碼：

void sieve(){
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            f[i]=(pw(i,k)-1+Mod)%Mod;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<MAXN;j++){
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0){f[i*prime[j]]=f[i]*(f[prime[j]]+1)%Mod;break;}
            f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]%Mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<MAXN;i++)s[i]=(s[i-1]+f[i])%Mod;
}