G - Eva's Balance (3進制&數論）

G - Eva’s Balance (3進制&數論）

題意：給$20$個$3$的冪次方數：$3^0,3^1,3^2\dots3^{19}$和一個數$n$，要求用這$20$個數中若干個使左右兩個秤盤數之和相等.
（$n$開始被放在左盤）

思路：因爲都是$3$的冪次方,題目等價於構造兩個$3$的冪次方之和相減等於$n$,所以考慮$3$進制下來表示$n$.

所以$n$被轉化爲$0,1,2$的數字串。當該位$pos_i$爲$0或1$時,顯然可以不會用到$3^{i}$或者直接抵消掉。

當$pos_i=2$時,因爲$2\times 3^i=3\times3^i-3^i=3^{i+1}-3^i$。所以等價於$pos_{i+1}+1$然後$pos_i=-1$。

當$pos_i=3$時,顯然$3\times 3^i=3^{i+1}$，所以等價於$pos_{i+1}+1,pos_i=0$.然後再根據$pos$的正負情況，將負的給左盤，正的給右盤，此題就解決了。

時間複雜度：$O(log_3n\times log_2n)$

AC代碼:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e3+5,inf=0x3f3f3f3f;
int a[N],n,t;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
int ksm(int a,int n){ //快速冪板子. 
	int ans=1;
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*a;
		a=a*a;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		mst(a);
		int k=0;
		while(n){ //轉換爲三進制. 
			a[++k]=n%3;
			n/=3;
		}
		int f1=0,f2=0;//用來控制格式(逗號) 
		for(int i=1;i<=k+1;i++){ //重點轉換. 
			if(a[i]==2) a[i]=-1,a[i+1]++;
			else if(a[i]==3) a[i]=0,a[i+1]++;
		}
		for(int i=1;i<=k+1;i++){ //輸出 注意是可能k+1位. 
			if(a[i]==-1){
				if(f1) printf(",%d",ksm(3,i-1));
				else f1=1,printf("%d",ksm(3,i-1));
			}
		}
		if(!f1) printf("empty");
		printf(" ");
		for(int i=1;i<=k+1;i++){
			if(a[i]==1){
				if(f2) printf(",%d",ksm(3,i-1));
				else f2=1,printf("%d",ksm(3,i-1));
			}
		}
		if(!f2) printf(" empty");
		puts("");
	}
	return 0;
}