【計算理論】上下文無關語法 ( 代數表達式 | 代數表達式示例 | 確定性有限自動機 DFA 轉爲 上下文無關語法 )

I . 代數表達式 語法

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1 . 代數表達式 語法 : $G4 = ( V , A , R , Expression )$ 是代數表達式語法 ;

① 終端字符集 : $A = \{ a , + , \times , () \}$ ;

② 變量集 : $V = \{ Expression , Term , Factor \}$ ;

• $Expression$ 是表達式 ;
• $Term$ 是項 ;
• $Factor$ 是因子 ;

2 . $Expression$ 表達式 規則 :

$Expression \to Expression + Term \quad | \quad Term$

$Expression$ ( 表達式 ) 可以通過 $Expression + Term \quad | \quad Term$ 代替 ;

3 . $Term$ 項 規則 :

$Term \to Term \times Factor \quad | \quad Factor$

$Term$ 項 可以通過 $Term \times Factor \quad | \quad Factor$ 代替 ;

4 . $Factor$ 因子 規則 :

$Factor \to Expression \quad | \quad a$

$Factor$ 因子 可以通過 $Expression \quad | \quad a$ 代替 ;

II . 代數表達式 語法 示例

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爲字符串 $(a + a) \times a$ 構建 語法分析樹 ;

1 . 起始狀態 : 語法的起始狀態是 $Expression$ , 根據 $Expression \to Expression + Term \quad | \quad Term$ 規則 , $Expression$ 可以使用 $Term$ 替換 , 直接從起始狀態 , 使用 $Term$ 替換 $Expression$ ;

2 . $(a + a) \times a$ 字符串的語法分析樹 :

符號 : 其中有 $\times$ 乘號 ;

語法分析樹 : $(a + a) \times a$ 中間有 $\times$ , 帶有 $\times$ 乘號的替換規則爲 $Term \to Term \times Factor | Factor$ , 顯然該項很顯然是一個 $Term$ 項 ;

3 . 根據上述 $Term \to Term \times Factor$ 可知 , $Term$ 是由 $Term \times Factor$ 進行替換的 , 左側的 $(a + a)$ 是一個 $Term$ , 右側的 $a$ 是一個 $Factor$ ;

4 . 根據 $Factor \to Expression | a$ 規則 , 右側的 $Factor$ 直接使用 $a$ 進行替代 , 可得如下語法分析樹 :

5 . 想辦法將左側的 $Term$ 替換成 $(a + a)$ :

加法只能是 $Expression$ , 先替換成 $Expression$ ;

6 . 這裏先使用 $Factor$ 替換 $Term$ : 使用規則 $Term \to Term \times Factor | Factor$ ;

7 . 在使用 $Expression$ 替換 $Factor$ : 使用規則 $Factor \to Expression | a$ ;

8 . 使用 $Expression + Term$ 替換 $Expression$ : 使用規則 $Expression \to Expression + Term | Term$ ;

9 . 使用 $Term$ 替換 左側的 $Expression$ : 使用規則 $Expression \to Expression + Term | Term$ ;

10 . 使用 $Factor$ 替換左側的 $Term$ : 使用規則 $Term \to Term \times Factor | Factor$ ;

11 . 使用 $a$ 替換左側的 $Factor$ : 使用規則 $Factor \to Expression | a$ ;

12 . 使用 $Factor$ 替換右側的 $Term$ : 使用規則 $Term \to Term \times Factor | Factor$ ;

13 . 使用 $a$ 替換右側的 $Factor$ : 使用規則 $Factor \to Expression | a$ ;

最終的 語法分析樹爲 :

此時可以得到語法分析樹 ; 該語法分析樹是一個代數表達式 ; 將該語法分析樹寫出 , 即可理解 上下文無關 語法 ;

代數表達式就是上下文無關的語法 ;

III . 設計 上下文無關語法

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給定語言 , 設計上下文無關語法 , 使用該語法可以生成該語言 ;

上下文無關語法 設計技巧 : 將複雜的語言分解 , 化整爲零 , 針對每個部分設計上下文無關的語法 , 最終將這些語法合併在一起 ;

上下文無關語法 與 自動機 : 如果給定的語言是正則語言 , 是由正則表達式表達的 , 能夠找到一個自動機可以識別該語言 , 首先將語言轉換成自動機 , 將自動機轉化爲上下文無關的語法 ;

IV . 確定性有限自動機 DFA 轉爲 上下文無關語法

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1 . 確定性有限自動機 ( DFA ) 轉爲 上下文無關語法 ( CFG ) : 將 確定性有限自動機 ( DFA ) 的指令 , 轉爲 對應的 上下文無關語法 ( CFG ) 規則 :

$\delta ( q_i, a ) = q_j \Rightarrow R_i \to aR_j$

$\delta ( q_i, a ) = q_j$ 表示 $q_i$ 狀態下 , 讀取字符 $a$ , 跳轉到 $q_j$ 狀態 ;

2 . 自動機的 狀態跳轉 轉換成 規則 示例 : 上圖中的 確定性有限自動機 , 開始狀態 $A$ 讀取 $1$ 字符 轉化成 $B$ 狀態 , 表示成規則就是

$R_A \to 1R_B$

3 . 自動機的狀態 $A$ 讀取 字符 $a$ 轉換成另一個狀態 $B$ , 都可以轉換成對應的規則 $R_A \to aR_B$ ;

4 . 計算能力對比 : 上下文無關語法 的計算能力 要大於等於 自動機的計算能力 ;