【計算理論】上下文無關語法 ( CFG ) 轉爲 下推自動機 ( PDA )

I . 上下文無關語法 ( CFG ) 轉爲 下推自動機 ( PDA )

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上下文無關語法 ( CFG ) :

$S \to aTb | b$
$T \to Ta|\varepsilon$

將上述 上下文無關語法 ( CFG ) 轉爲 下推自動機 ;

II . 下推自動機 ( PDA ) 三個狀態

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該 自動機 共包含 $3$ 個狀態 , $q_{start}$ , $q_{loop}$ , $q_{accept}$ , 最後一個狀態是 可接受狀態 ;

III . 下推自動機 ( PDA ) $q_{start}$ 狀態

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1 . 首先在 棧頂 放入 $K$ 字符 , 用於當做棧底的標識 ;

生成指令 : $\varepsilon , \varepsilon \to K$ ;

開始狀態 $q_{start}$ 狀態 , 讀取 $\varepsilon , \varepsilon \to K$ 指令 , 讀取空字符 , 使用 $K$ 替換棧頂的空字符 , 就是將 $K$ 放入棧中 ;

狀態跳轉 : 之後跳轉到 $q_{loop}$ 狀態 ;

當前的 下推自動機 ( CFG ) 設計 :

IV . 下推自動機 ( PDA ) $q_{loop}$ 狀態

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1 . $q_{loop}$ 狀態下 在棧中模仿 上下文無關語法 ( CFG ) 的規則替換 ;

上下文無關語法 ( CFG ) :

$S \to aTb | b$
$T \to Ta|\varepsilon$

2 . 對照上述 上下文無關語法 ( CFG ) , 逐條生成指令 :

① $S \to aTb$ 對應的指令 : $\varepsilon , S \to aTb$ , 讀取 $\varepsilon$ 時 , 使用 $aTb$ 替換棧頂的 $S$ ; 即如果棧頂是 $S$ , 使用 $aTb$ 替換棧頂的 $S$ ;

② $S \to b$ 對應的指令 : $\varepsilon , S \to b$ , 讀取 $\varepsilon$ 時 , 使用 $b$ 替換棧頂的 $S$ ; 即如果棧頂是 $S$ , 使用 $b$ 替換棧頂的 $S$ ;

③ $T \to Ta$ 對應的指令 : $\varepsilon , T \to Ta$ , 讀取 $\varepsilon$ 時 , 使用 $Ta$ 替換棧頂的 $T$ ; 即如果棧頂是 $T$ , 使用 $Ta$ 替換棧頂的 $T$ ;

④ $T \to \varepsilon$ 對應的指令 : $\varepsilon , T \to \varepsilon$ , 讀取 $\varepsilon$ 時 , 使用 $\varepsilon$ 替換棧頂的 $T$ ; 即如果棧頂是 $T$ , 使用 $\varepsilon$ 替換棧頂的 $T$ ;

⑤ 如果棧上有終端字符 $a$ , 要將棧裏的終端字符 $a$ 移除 , 對應指令是 $a , a \to \varepsilon$ , 如果讀取到字符 $a$ 時 , 從棧頂將字符 $a$ 移除 ;

⑥ 如果棧上有終端字符 $b$ , 要將棧裏的終端字符 $b$ 移除 , 對應指令是 $b , b \to \varepsilon$ , 如果讀取到字符 $b$ 時 , 從棧頂將字符 $b$ 移除 ;

V . 下推自動機 ( PDA ) $q_{accept}$ 狀態

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1 . $q_{accept}$ 狀態 :

在 $q_{loop}$ 狀態下 , 將棧內的除 $K$ 外所有的字符都移除完畢 , 開始向 $q_{accept}$ 狀態跳轉 ;

此時需要生成指令 $\varepsilon , K \to \varepsilon$ , 讀取 空字符 $\varepsilon$ , 使用 空字符 $\varepsilon$ 替換棧頂的 $K$ 字符 , 此時棧清空了 ;

VI . 下推自動機 ( PDA ) 指令分解

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1 . 非法指令分解

上述生成的

• $\varepsilon , S \to aTb$
• $\varepsilon , T \to Ta$

兩個指令是不合法的 , 在棧中 , 一個字符 ( 或空字符串 $\varepsilon$ ) 只能由 一個字符 ( 或空字符串 $\varepsilon$ ) 替換 ;

上述不合法的規則 , 多個字符替換棧頂的一個字符 , 需要進行分解操作 ;

2 . $\varepsilon , S \to aTb$ 指令分解流程 :

① $q_{loop}$ 狀態 跳轉到 新的狀態 $q_{loop1}$ , 跳轉讀取的指令時 $\varepsilon , S \to b$ , 讀取空字符 , 然後使用 $b$ 替換棧頂的 $S$ 字符 ;

② $q_{loop1}$ 狀態 跳轉到 新的狀態 $q_{loop2}$ , 跳轉讀取的指令時 $\varepsilon , \varepsilon \to T$ , 讀取空字符 , 然後使用 $T$ 替換棧頂的 $\varepsilon$ 字符 , 相當於在棧中放入了 $T$ 字符 ;

③ $q_{loop2}$ 狀態 跳轉到 原來的狀態 $q_{loop}$ , 跳轉讀取的指令時 $\varepsilon , \varepsilon \to a$ , 讀取空字符 , 然後使用 $a$ 替換棧頂的 $\varepsilon$ 字符 , 相當於在棧中放入了 $a$ 字符 ;

分解 $\varepsilon , S \to aTb$ 後的 $3$ 個指令 :

• $\varepsilon , S \to b$
• $\varepsilon , \varepsilon \to T$
• $\varepsilon , \varepsilon \to a$

上述三個指令都是合法的 , 上述 $3$ 個指令 串聯後的效果等價於 $\varepsilon , S \to aTb$ 操作 , 等價於上下文無關語法的 $S \to aTb$ 規則效果 ;

3 . $\varepsilon , T \to Ta$ 指令分解流程 :

① $q_{loop}$ 狀態 跳轉到 新的狀態 $q_{loop3}$ , 跳轉讀取的指令時 $\varepsilon , S \to a$ , 讀取空字符 , 然後使用 $a$ 替換棧頂的 $S$ 字符 ;

② $q_{loop3}$ 狀態 跳轉到 原來的狀態 $q_{loop}$ , 跳轉讀取的指令時 $\varepsilon , \varepsilon \to T$ , 讀取空字符 , 然後使用 $T$ 替換棧頂的 $\varepsilon$ 字符 , 相當於在棧中放入了 $T$ 字符 ;

分解 $\varepsilon , T \to Ta$ 後的 $2$ 個指令 :

• $\varepsilon , S \to a$
• $\varepsilon , \varepsilon \to T$

上述 $2$ 個指令都是合法的 , 上述 $2$ 個指令 串聯後的效果等價於 $\varepsilon , T \to Ta$ 指令 , 等價於上下文無關語法的 $T \to Ta$ 規則效果 ;

VII . 最終轉換成的 下推自動機 ( PDA ) 結果

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最終的 上下文無關語法 ( CFG ) 轉爲的 下推自動機 ( PDA ) 樣式 :

上下文無關語法 ( CFG ) 與 下推自動機 ( PDA ) 是等價的 , 給定一個 下推自動機 ( PDA ) , 構造 上下文無關語法 ( CFG ) , 該語法生成的語言 , 就是該 下推自動機 ( PDA ) 所認識的語言 ;