【計算理論】下推自動機 PDA ( 設計下推自動機 | 上下文無關語法 CFG 等價於 下推自動機 PDA )

I . 下推自動機 設計

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設計下推自動機 , 可以識別 $\{ ww^R : w \in \{ 0, 1\} ^* \}$ 語言 ;

$R$ 表示鏡面反射 , 如果 $w$ 是由 $0 , 1$ 組成的字符串 $011$ , 那麼 $w^R$ 就是其鏡面反射 $100$ 字符串 , 然後將 $w$ 和 $w^R$ 串聯在一起 , $ww^R = 011100$ ;

1 . 首先生成開始狀態 ;

開始狀態是接受狀態 , 因爲如果字符串是空字符串 , 空字符串的鏡面反射還是空字符串 , 因此讀取空字符串後的狀態 , 是接受狀態 , 開始狀態其本身就是接受狀態 ;

2 . 向棧底放入 字符 $S$ , 用於作爲棧底的標識 , 生成 $\varepsilon , \varepsilon \to S$ 指令 ;

$\varepsilon , \varepsilon \to S$ 指令包含 $2$ 部分 : 讀取字符 , 和 棧內操作 ;

• 讀取字符 : 指的是讀取的帶子上的字符串 , $\varepsilon , \varepsilon \to S$ 中前面的 $\varepsilon$ 指的是從帶子上讀取 $\varepsilon$ ;

• 棧內操作 : 使用某個字符 替換 棧頂字符 ; $\varepsilon , \varepsilon \to S$ 中後面的 $\varepsilon \to S$ 指的是使用 $S$ 字符替換棧頂的空字符 $\varepsilon$ ;

3 . 鏡面反射的前半個鏡面 :

$0$ 入棧 : 每讀取一個 $0$ , 就將 $0$ 放入棧中 , 生成指令 $0, \varepsilon \to 0$ ;

$1$ 入棧 : 每讀取一個 $1$ , 就將 $1$ 放入棧中 , 生成指令 $1, \varepsilon \to 1$ ;

4 . 跳轉到新的狀態 , 在新的狀態執行 後半個鏡面的操作 :

無條件跳轉就是讀取 $\varepsilon$ , 並且棧中元素保持不變 , 即使用 $\varepsilon$ 替換棧頂的 $\varepsilon$ ;

生成的指令爲

$\varepsilon , \varepsilon \to \varepsilon$

當前的下推自動機 :

5 . 鏡面反射的後半個鏡面 :

$0$ 出棧 : 每讀取一個 $0$ , 從棧裏拿走一個 $0$ , 生成指令 $0, 0 \to \varepsilon$ ;

$1$ 出棧 : 每讀取一個 $1$ , 從棧裏拿走一個 $0$ , 生成指令 $1, 1 \to \varepsilon$ ;

6 . 棧清空 , 跳轉到最後的 接受狀態 : 上述出棧操作執行若干次後, 總能將棧內的字符取出完畢 , 只剩下一個 $S$ 字符 , 該字符是棧底的標識 ; 此時將 $S$ 字符從棧內取出即可 ;

生成如下指令 :

$\varepsilon , S \to \varepsilon$

指令含義是 讀取 $\varepsilon$ 字符 , 使用 $\varepsilon$ 字符替換棧中的 $S$ 字符 ;

最後跳轉到的狀態是接受狀態 ;

當前下推自動機爲 :

II . 上下文無關語法 ( CFG ) 等價於 下推自動機 ( PDA )

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假設某語言由 上下文無關語法 ( CFG ) 生成 , 找到一個 下推自動機 ( PDA ) 識別該語言 ;

構造下推自動機流程 ( PDA ) :

構造下推自動機 , 包含 $3$ 個狀態 , 開始狀態 $q_{start}$ , Loop 循環狀態 $q_{loop}$ , 可接受狀態 $q_{accept}$ ;

1 . $q_{start}$ 開始狀態 :

讀取 $\varepsilon$ 字符 , 使用 $TS$ 替換棧頂的 $\varepsilon$ , 對應的指令爲

$\varepsilon , \varepsilon \to TS$

其中的 $S$ 是棧頂的標識 , $T$ 是棧內的實際字符 ;

2 . $q_{loop}$ 循環階段 , 根據 上下文無關語法 ( CFG ) 做替換 ;

① 當棧頂是變元時 , 作變換 , 讀取 $\varepsilon$ , 即什麼都不讀取 , 將棧頂的變元 替換成 $w$ , 生成的 下推自動機 指令爲 " $\varepsilon , A \to w$ " , 對應着的上下文無關語法規則爲 $A \to w$ ;

② 當棧頂是終端字符 ( 常元 ) , 讓帶子上的 讀頭 讀取一個終端字符 , 對應的棧中 , 將棧頂的終端字符刪除 , 相當於使用 $\varepsilon$ 替換終端字符 , 生成指令 " $a , a \to \varepsilon$ " ;

一直讀取 終端字符 , 並將棧頂的終端字符刪除 , 一直循環該操作 , 直到 棧頂是一個變元 未爲止 ;

3 . 跳轉到 $q_{accept}$ 狀態 : 當棧內的字符都出棧後 , 只剩下一個 $S$ 字符作爲棧底標識 , 此時 $S$ 出棧 , 生成對應的 下推自動機指令 " $\varepsilon , S \to \varepsilon$ " , 即使用空字符 $\varepsilon$ 替換棧內的 $S$ 字符 ;

之後跳轉到最後一個狀態 , $q_{accept}$ 可接受狀態 ;