FIRST集合基本構造

FIRST集合

定義

令G是一個不含左遞歸的文法，對G的所有非終結符的每個候選a定義它的終結首符集FIRST(a)爲：

FIRST(α) = { a│α ⇒∗ a…, a∈VT }

若α ⇒∗ ε ，則規定ε∈FIRST(α)。

FIRST(α)被定義爲從α推導得到的句子的首符號的集合，α是任意的文法符號串。

n非終結符的FISRT集合中有空串與該非終結符屬於NULLABLE集合等價。

FIRST集合構造

構造每個文法符號的FIRST集合

第一種說明：

對於文法G的每個文法符號X∈VT∪VN：

• 若 X ∈ VT，則 FIRST(X) = { X }
• 若 X ∈ NULLABLE，則把 ε 加入FIRST(X)
• 若 X ∈ VN，且 X → a…, a ∈ VT，則把a加入到FIRST(X)中
• 若 X ∈ VN，且 X → Y…, Y ∈ VN，則把FIRST(Y) - {ε}加到FIRST(X)中
• 若 X →Y1Y2 … Yi , 且 Y1, Y2, … ,Yi-1 ∈ nullable，則把 FIRST(Yi) - {ε}加到FIRST(X)中
• 若 FIRST(Ym) ∈ NULLABLE(1<=m<=i)，則ε∈FIRST(X)

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第二種說明：

對每一X∈VT∪VN，連續使用下面的規則，直至每個集合FIRST不再增大爲止：

• 若X ∈ VT，則FIRST(X)＝{X}。
• 若X ∈ VN，且有產生式X→a…，則把a加入到FIRST(X)中；若X→ε也是一條產生式，則把 ε 也加到FIRST(X)中。
• 若X→Y…是一個產生式且Y ∈ VN，則把FIRST(Y)中的所有非 ε- 元素都加到FIRST(X)中；若X→Y1Y2…Yi-1Yi…Yk是一個產生式，Y1，…，Yi-1都是非終結符，對於任何j，1<=j<=i-1，FIRST(Yj)都含有 ε (即Y1…Yi-1 ⇒∗ε)， 則把FIRST(Yi)中的所有非 ε-元素都加到FIRST(X)中；若所有的FIRST(Yj)均含有 ε，j＝1，2，…，k，則把 ε 加到FIRST(X)中。

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如果上面兩個構造方法看不懂也不要緊，我們大白話講一下

第三種說明（這種比較好理解）：

對於 X -> ... 這條產生式而言，

• 若右邊第一個符號是終結符或 ε  ，則直接將其加入 FIRST（X）
• 若右邊第一個符號是非終結符，則將其 FIRST 集的的非 ε 元素加入 FIRST（X）
• 若右邊第一個符號是非終結符而且緊隨其後的是很多個非終結符，這個時候就要注意是否有 ε  。
• 若第 i 個非終結符的 FIRST 集有 ε  ，則可將第 i+1 個非終結符去除 ε 的 FIRST 集加入 FIRST（X）。
• 若所有的非終結符都能夠推導出 ε ，則將  ε  也加入到 FIRST（X）

 

以上三種說明大致意思都是相同的

例題

文法G: 
E → TE'
E' → +TE’│ε
T → FT'
T' → *FT'│ε
F → (E)│i
求每個非終結符號的FIRST集合

 這是一道非常經典的例題，下面我們一起來看一下

因爲FIRST集合是要不斷重複進行的，我們可以多次循環構造它（以下均使用第三種說明）



第一次循環

//E的產生式緊跟的是兩個非終結符，根據構造法第二條，FIRST(E)=FIRST(T),而FIRST(T)我們還沒求出來，所以我們這項暫時爲空
FIRST(E) = { }

//E'的產生式緊跟的是非終結符+，根據構造法第一條，將其加入到FIRST(E')中，產生式中還可以推導出ε，將ε也加入到FIRST(E')中
FIRST(E') = {+，ε}

//T的產生式緊跟的是FT'兩個非終結符，根據構造法第二條，FIRST(T)=FIRST(F),而FIRST(T)我們還沒求出來，所以我們這項暫時爲空
FIRST(T) = { }

//T'的產生式緊跟的是非終結符*，根據構造法第一條，將其加入到FIRST(T')中，產生式中還可以推導出ε，將ε也加入到FIRST(T')中
FIRST(T') = {*，ε}

//F的產生式緊跟的是非終結符(，根據構造法第一條，將其加入到FIRST(T')中，產生式中還可以推導出i，將i也加入到FIRST(F)中
FIRST(F) = {(, i}

//第一次循環之後，有FIRST集合發生改變，再次循環，直到所有FIRST集合不發生改變爲止


第二次循環

FIRST(E) = { }            //沒有得到FIRST(T)，依舊不能得到FIRST(E)，所以爲空

FIRST(E') = {+，ε}        //不變

FIRST(T) = {(, i}
//T的產生式緊跟的是非終結符F，根據構造法第二條，將FIRST(F)中的元素加入到FIRST(T)中
     
FIRST(T') = {*，ε}        //不變

FIRST(T) = {(, i}        //不變

//第二次循環之後，FIRST集合發生變化，再次循環



第三次循環

FIRST(E) = {(, i}          //根據構造法第二條，將將FIRST(T)中的元素加入到FIRST(E)中

FIRST(E') = {+，ε}         //不變

FIRST(T) = {(, i}        //不變

FIRST(T') = {*，ε}        //不變

FIRST(T) = {(, i}        //不變


//第三次循環之後，FIRST集合發生改變，接着循環


第四次循環

FIRST(E) = {(, i}

FIRST(E') = {+，ε}

FIRST(T) = {(, i}

FIRST(T') = {*，ε}

FIRST(T) = {(, i} 

所有FIRST集合都不改變，完成FIRST集合的構造

構造任意符號串的FIRST集合

對文法G的任何符號串α=X1X2…Xn構造集合FIRST(α)

 

FIRST(α)={ a│α⇒∗ a…, a∈VT }

α = X， X∈VT∪VN

α = X1X2…Xn， X∈VT∪VN

 

1. 置FIRST(α)＝FIRST(X1) \ {ε}；

2. 若對任何1<=j<=i-1，ε∈FIRST(Xj)，則把FIRST(Xi) \ {ε}加至FIRST(α)中；特別是，若所有的FIRST(Xj)均含有ε，1<=j<=n，則把ε 也加至FIRST(α)中。顯然，若α＝ε則FIRST(α)＝{ ε }。 

如果能理解上面對文法符號的構造，對任意符號串的構造就很好理解了

 

如有錯誤，歡迎指正！