概述

1、基本格式

1.1、浮點數的表示

1.1.1、使用定點數

使用定點數表示純小數和純整數

1.1.2、使用浮點數

分析

使用浮點數：以適當的形式將比例因子表示在數據中，讓小數點的位置根據需要浮動
使用科學記數法的思想
如圖所示
前一部分是階碼，是定點整數，後面是尾數部分，是定點小數
位數的數值部分是0.幾
階碼通常是補碼或者移碼錶示，尾數通常用原碼和補碼錶示
階碼E反映了浮點數的表示範圍，以及小數點的實際位置
M反應數值部分的位數和浮點數的精度
通過·階碼的改變，理論上就可以實現浮點數的浮動
浮點數的真值：r^E*M
r約定了是2，E是階碼階碼，M是數值、

舉例

a=0.01:1.1001
b=0.01:0.01001,階碼尾數均用補碼錶示，求ab的真值
解：a的階碼部分是2^1,尾數部分是-0.0111可以看作是-111右移了四個位置可以看作-7/16就是結果
b同理，但是要注意，b在一個字節的存儲位上放不下，需要捨去最後一位，所以需要規格化

2、規格化

2.1、左規和右規

規定尾數的最高位必須是一個有效值1
左規：將尾數左移一位，階碼減一
右規：當浮點數的運算出現尾數溢出（雙符號位01，10（時，將尾數右移一位，階碼加一

2.2、原碼規格化的表示範圍

M的絕對值在0.5到1之間
原碼規格化後M的表示範圍是0.10000–0.111111
原碼規格化後負數地表示範圍是：1.111111-1.100000

2.3、補碼規格化的表示範圍

補碼規格化：正數的表示範圍不變
負數：注意，因爲要求真值的最高爲必須是1，所以表示成補碼之後，最高有效位一定是0，則最小1.000000=-1，最大：1.0111111=-（1/2+2^-n)

上圖時如果用三位表示的話，正數和負數補碼的區別，注意感受不同

這是變成小數的形式

可以看到，太大和太小都不可以

3、IEEE754標準（重點）

3.1、表示形式

三個部分：數符，階碼，尾數
階碼用移碼錶示，尾數用原碼錶示，隱藏表示最高數值爲是1 ，所以不需要存儲1
尾數xxxxx，則表示1.xxxxx

3.2、常用的形式

短浮點數float32位
長浮點數：double 64位
對應真值：

重要

記住

3.3、特殊規定

E=M=0，真值位0
E=0，M不等於0，是非規格數，真值：-1^s乘以(0.M)乘以2^-126（這是規定，記住就可以）
1<=E<=254時，真值正常
E=255，全1時，,M不等於0時，非數值也是規定
E=255，M=0時，無窮

3.4、表示範圍

當E=1，M=0時，表示最小
當E差一個1全1時，M全1時最大
以下時絕對值的範圍

3.6、相關資料

浮點數表示格式
在IEEE-754標準下，浮點格式主要分爲四種類行，即單精度格式、雙精度格式、擴展單精度格式和擴展雙精度格式。其中32位單精度格式與64位雙精度格式作爲基礎格式更爲常用，擴展格式則有特殊目的，一般對用戶透明。

浮點格式參數

浮點格式可分爲符號位s，指數位e以及尾數位f三部分。
其中真實的指數E相對於實際的指數有一個偏移量，所以E的值應該爲e-Bias，Bias即爲指數偏移量。這樣做的好處是便於使用無符號數來代替有符號的真實指數。尾數f字段代表純粹的小數，它的左側即爲小數點的位置。規格化數的隱藏位默認值爲1，不在格式中表達。

IEEE-754 標準浮點格式

在IEEE-754 標準下，浮點數一共分爲：

NaN：即Not a Number。非數的指數位全部爲1 同時尾數位不全爲0。在此前提下，根據尾數位首位是否爲1，NaN 還可以分爲SNaN 和QNaN 兩類。前者參與運算時將會發生異常。
無窮數：指數位全部爲1 同時尾數位全爲0。大。
規格化數：指數位不全爲1 同時尾不全爲0。此時浮點數的隱含位有效，其值爲1。
非規格化數：指數位全爲0 且尾數位不全爲0。此時隱含位有效，值爲0。另外需要注意，以單精度時爲例，真實指數E 並非0-127=-127，而是-126，這樣一來就與規格化下最小真實指數E=1-127=-126 達成統一，形成過度。
0 ：指數位與尾數位都全爲0，根據符號位決定正負。
IEEE-754 標準的浮點數表示

浮點的舍入模式
在存儲單元的物理限制下，無限精度的浮點數需要根據需求進行舍入操作，一般
可分爲四類：

1．最近舍入，即向距離最近的浮點數舍入，若存在兩個同樣接近的數，則選擇偶數作爲舍入值。
2．向零舍入，又稱截斷舍入，將多餘的精度位截掉，即取捨入後絕對值較小的值。
3．正向舍入，也稱正無窮舍入，即舍入後結果大於原值。
4．負向舍入：也稱負無窮舍入，即舍入後結果小於原值。

【考研】浮點數的表示

目錄

概述