目錄
一、平衡二叉樹
爲什麼需要平衡二叉樹？
前邊我們說到過二分搜索樹，二分搜索樹在極端情況下會退化成一個鏈表，使操作複雜度下降爲O(n)級別。我們需要採取一定的辦法避免出現這樣的退化。
AVL樹是一種最早的自平衡二分搜索樹結構。
滿二叉樹->完全二叉樹->平衡二叉樹
什麼是平衡二叉樹？
對於任意一個節點（注意非葉子節點也滿足），左子樹和右子樹的高度差不能超過1。下邊是一棵平衡二叉樹：
在實際的編程過程當中，爲了方便跟蹤樹的高度和判斷樹的平衡狀態，通常通過計算平衡因子來表示左右子樹的高度差。下圖便是一棵不平衡的二叉樹的示例
標註節點高度：根節點高度=左右子樹中高度最高的節點高度+1；
二、計算節點的高度和平衡因子
下邊我們通過代碼來具體實現節點高度和平衡因子的計算
我們在原先通過Map實現的二分搜索樹基礎上進行修改，因爲，我們實現的平衡二叉樹本質上也是一棵二分搜索樹。
1、計算節點高度
首先我們在節點中添加需要維護的節點高度
// 添加維護高度
private class Node {
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public int height;// 維護高度
public Node(K key, V value) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = null;
this.right = null;
this.height = 1;// 葉子節點的高度爲1
}
}
有時候節點是不存在的，此時節點的高度值爲0；爲了避免對這一情況重複判斷，我們封裝一個私有的獲取方法
// 輔助函數，獲取高度值
private int getHeight(Node node) {
if (node == null) {
return 0;// 空樹的高度
}
return node.height;
}
2、計算平衡因子
計算平衡因子比較簡單，就是計算左右子樹的高度差，對此，我們設立一個私有的輔助函數
// 計算節點Node的平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node) {
if (node == null) {
return 0;
}
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
3、節點高度和平衡因子的維護
我們在AVL樹的添加方法中維護平衡因子和節點高度，具體代碼如下
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
// 維護節點高度和平衡因子
private Node add(Node node, K key, V value) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(key, value);
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, value);
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, value);
} else {
node.value = value;
}
// 計算節點高度-更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
// 計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) { // 平衡因子大於1,平衡性被破壞
// 待實現邏輯
}
return node;
}
三、檢查二分搜索樹性質和平衡性
對於平衡二叉樹的檢驗，我們首先要判斷它是不是一棵二分搜索樹，然後在二分搜索樹的基礎上再檢驗二叉樹的平衡性；
首先，我們利用二分搜索樹的中序遍歷的性質來判斷二叉樹是不是一棵二分搜索樹——使用遞歸
// 判斷該二叉樹是否是一棵二分搜索樹
public boolean isBST() {
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
// 判斷是不是具有順序性
for (int i = 1; i < keys.size(); i++) {
if (keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0) {
return false;
}
}
return true;
}
private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys) {
if (node == null) {
return;
}
// 對二叉樹進行中序遍歷-中序遍歷具有順序性
inOrder(node.left, keys);// 對左子樹進行遍歷
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);// 對右子樹進行遍歷
}
然後，我們通過計算平衡因子，來判斷二叉樹的平衡性
// 判斷二叉樹是不是一棵平衡二叉樹
public boolean isBalanced() {
return isBalanced(root);
}
// 左右子樹高度差超過1
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null) {// 空節點也是一棵平衡二叉樹
return true;
}
// 當前節點的判斷
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {
return false;
}
// 對左右子樹的判斷
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
四、旋轉操作
1、旋轉操作的基本原理
當二叉樹的平衡性被打破時，我們需要對二叉樹的平衡性進行維護，對二叉樹平衡性的維護我們使用旋轉的操作來實現，如圖，當左邊的二叉樹平衡性被打破時，我們需要進行右旋轉操作，右旋轉操作的步驟如下
（1）把 x 節點設置成新二叉樹的新的根節點
（2）忽略掉 x 節點的右子樹，然後把 y 節點和其的右子樹作爲 x 節點的新的右子樹
（3）把原 x 節點的右子樹作爲 y 節點的左子樹
完成上述操作後，二分搜索樹的性質沒有改變，二叉樹的平衡性也得到了維護。
2、左旋轉（LL）和右旋轉（RR）的實現
對於左旋轉和右旋轉的實現邏輯，上小節的介紹中已經闡述了，總之，當我們不斷向二叉樹的左子樹的左子樹插入元素時，我們維護二叉樹的平衡需要進行右旋轉，反之則進行左旋轉，代碼實現也很簡單，如下：
// 右旋轉操作-此時y節點已經破環平衡
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.left;// 暫存x的左子樹
// 進行右旋轉
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height值-先更新y再更新x
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 左旋轉
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋轉的過程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
我們把平衡性的維護加入到添加方法中：
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
private Node add(Node node, K key, V value) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(key, value);
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, value);
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, value);
} else {
node.value = value;
}
// 計算高度-更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
// 計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) { // 平衡因子大於1,平衡性被破壞
// 向左傾斜-右旋轉
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
return rightRotate(node);// 形成新的根節點
}
// 向右傾斜-左旋轉
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
return leftRotate(node);// 形成新的根節點
}
// ToDo ...
}
return node;
}
3、LR和RL
LR：指新插入的節點是在左孩子的右側
對於LR的情況，我們首先以X爲根節點進行左旋轉，轉換成LL的情況，然後再根據LL的情況進行旋轉
代碼實現邏輯如下：
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
// 轉換爲LL的情況
node.left = this.leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);// 形成新的根節點
}
RL：指新插入的節點是在右孩子的左側，操作步驟同LR相似。代碼實現邏輯如下：
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
// 轉換爲RR的情況
node.right = this.rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);// 形成新的根節點
}
五、AVL樹的刪除
AVL樹刪除元素跟添加元素的邏輯是一致的，每添刪除一個元素，我們需要維護以一下AVL的平衡性，具體的刪除實現邏輯如下：
private Node remove(Node node, K key) {
// 二分搜索樹爲空
if (node == null) {
return null;
}
// 維護返回的Node,不再立即返回去，因爲刪除節點後可能破壞了平衡性
Node retNode;
if (key.compareTo(node.key) > 0) {
// 大於根節點，從右子樹刪除
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
} else if (key.compareTo(node.key) < 0) {
// 小於根節點，從左子樹刪除
node.left = remove(node.left, key);
retNode = node;
} else { // 等於根節點
// 如果左子樹爲空，直接用右子樹來替換
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
retNode = rightNode;
}
// 如果右子樹爲空，直接用左子樹替換
else if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
retNode = leftNode;
} else {
// 待刪除節點左右都不爲空的情況
// 先找到右子樹中後繼節點，然後在右子樹中刪除該節點
Node successor = minimum(node.right);
// 這一步是遞歸的調用刪除最小的值-remove方法中已經有了維護自平衡的方法
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
// ------維護平衡性,跟添加元素相一致------
if (retNode == null) {// 刪除節點後二叉樹爲空，直接返回空
return null;
}
// 計算高度-更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
// 計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) { // 平衡因子大於1,平衡性被破壞
// 向左傾斜-右旋轉
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0) {
return rightRotate(retNode);// 形成新的根節點
}
// 向右傾斜-左旋轉
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0) {
return leftRotate(retNode);// 形成新的根節點
}
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
// 轉換爲LL的情況
retNode.left = this.leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);// 形成新的根節點
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
// 轉換爲RR的情況
retNode.right = this.rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);// 形成新的根節點
}
}
return retNode;
}
六、完整的AVL樹的代碼實現
綜合上述代碼，完整的AVL樹的實現如下
public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> implements Map<K, V> {
// 因爲要存儲鍵值對，所以不能完全複用之前的邏輯
private class Node {
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public int height;// 維護高度值
public Node(K key, V value) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = null;
this.right = null;
this.height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree() {
root = null;
size = 0;
}
// 輔助函數，獲取高度值
private int getHeight(Node node) {
if (node == null) {
return 0;// 空樹的高度
}
return node.height;
}
@Override
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
private Node add(Node node, K key, V value) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(key, value);
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, value);
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, value);
} else {
node.value = value;
}
// 計算高度-更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
// 計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) { // 平衡因子大於1,平衡性被破壞
// 向左傾斜-右旋轉
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
return rightRotate(node);// 形成新的根節點
}
// 向右傾斜-左旋轉
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
return leftRotate(node);// 形成新的根節點
}
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
// 轉換爲LL的情況
node.left = this.leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);// 形成新的根節點
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
// 轉換爲RR的情況
node.right = this.rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);// 形成新的根節點
}
}
return node;
}
// 計算節點Node的平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node) {
if (node == null) {
return 0;
}
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
// 判斷該二叉樹是否是一棵二分搜索樹
public boolean isBST() {
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
// 判斷是不是具有順序性
for (int i = 1; i < keys.size(); i++) {
if (keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0) {
return false;
}
}
return true;
}
private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys) {
if (node == null) {
return;
}
// 對二叉樹進行中序遍歷-中序遍歷具有順序性
inOrder(node.left, keys);// 對左子樹進行遍歷
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);// 對右子樹進行遍歷
}
// 判斷二叉樹是不是一棵平衡二叉樹
public boolean isBalanced() {
return isBalanced(root);
}
// 左右子樹高度差超過1
private boolean isBalanced(Node node) {
if (node == null) {// 空節點也是一棵平衡二叉樹
return true;
}
// 當前節點的判斷
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) {
return false;
}
// 對左右子樹的判斷
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
// 右旋轉操作-此時y節點已經破環平衡
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.left;// 暫存x的左子樹
// 進行右旋轉
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height值-先更新y再更新x
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 左旋轉
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋轉的過程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
@Override
public boolean contains(K key) {
return getNode(root, key) != null;
}
@Override
public V get(K key) {
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
@Override
public void set(K key, V newValue) {
Node node = getNode(root, key);
if (node == null) {
throw new IllegalArgumentException(key + " is Empty !");
}
node.value = newValue;
}
@Override
public int getSize() {
return size;
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
// 輔助函數
private Node getNode(Node node, K key) {
if (node == null) {
return null;
}
if (key.compareTo(node.key) == 0) {
return node;
} else if (key.compareTo(node.key) < 0) {
return getNode(node.left, key);
} else {
return getNode(node.right, key);
}
}
private Node minimum(Node node) {
if (node.left == null) {
return node;
}
return minimum(node.left);
}
// 刪除Map中任意元素
@Override
public V remove(K key) {
Node node = getNode(root, key);
if (node != null) {
// 刪除元素
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
// 二分搜索樹爲空
if (node == null) {
return null;
}
// 維護返回的Node,不再立即返回去，因爲刪除節點後可能破壞了平衡性
Node retNode;
if (key.compareTo(node.key) > 0) {
// 大於根節點，從右子樹刪除
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
} else if (key.compareTo(node.key) < 0) {
// 小於根節點，從左子樹刪除
node.left = remove(node.left, key);
retNode = node;
} else { // 等於根節點
// 如果左子樹爲空，直接用右子樹來替換
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
retNode = rightNode;
}
// 如果右子樹爲空，直接用左子樹替換
else if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
retNode = leftNode;
} else {
// 待刪除節點左右都不爲空的情況
// 先找到右子樹中後繼節點，然後在右子樹中刪除該節點
Node successor = minimum(node.right);
// 這一步是遞歸的調用刪除最小的值-remove方法中已經有了維護自平衡的方法
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
// ------維護平衡性,跟添加元素相一致------
if (retNode == null) {// 刪除節點後二叉樹爲空，直接返回空
return null;
}
// 計算高度-更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
// 計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1) { // 平衡因子大於1,平衡性被破壞
// 向左傾斜-右旋轉
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0) {
return rightRotate(retNode);// 形成新的根節點
}
// 向右傾斜-左旋轉
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0) {
return leftRotate(retNode);// 形成新的根節點
}
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
// 轉換爲LL的情況
retNode.left = this.leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);// 形成新的根節點
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
// 轉換爲RR的情況
retNode.right = this.rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);// 形成新的根節點
}
}
return retNode;
}
}
七、基於AVL樹的映射和集合的實現
1、基於AVL樹實現的映射（Map）
基於AVL樹實現映射比較簡單，就是再AVLTree外邊進行了一層包裝，具體實現代碼如下：
public class AVLMap<K extends Comparable<K>, V> implements Map<K, V> {
// 引入avlTree
private AVLTree<K, V> avl;
public AVLMap() {
avl = new AVLTree<>();
}
@Override
public void add(K key, V value) {
avl.add(key, value);
}
@Override
public V remove(K key) {
return avl.remove(key);
}
@Override
public boolean contains(K key) {
return avl.contains(key);
}
@Override
public V get(K key) {
return null;
}
@Override
public void set(K key, V newValue) {
}
@Override
public int getSize() {
return avl.getSize();
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return avl.isEmpty();
}
}
2、基於AVL樹實現的集合（Set）
基於AVLTree實現的集合跟基於AVLTree實現的Map邏輯是一樣的，也是在AVLTree的基礎上進行一下簡單的包裝，實現代碼如下：
public class AVLSet<E extends Comparable<E>> implements Set<E> {
// 在集合中我們不關注value,只關注key,用到value時,設置爲null
private AVLTree<E, Object> avl;
public AVLSet() {
avl = new AVLTree<>();
}
@Override
public void add(E e) {
avl.add(e, null);// 集合不是鍵值對，因此值直接傳空
}
@Override
public void remove(E e) {
avl.remove(e);
}
@Override
public boolean contains(E e) {
return avl.contains(e);
}
@Override
public int getSize() {
return avl.getSize();
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return avl.isEmpty();
}
}