2020.05.24日常總結——又一道特別好的 dp 題

$\color{green}{\texttt{洛谷P1121\ \ \ 環狀最大兩段子段和}}$

$\color{blue}{\texttt{【題意】：}}$

• 給你一個首尾相接的數組 $a$（即環），選出其中連續 不重疊 且 非空 的 兩段 使得這兩段和最大。
• $2 \leq n \leq 2 \times 10^5,-1\times 10^4 \leq a_i \leq 1 \times 10^4(1 \leq i \leq n)$。
• 注意兩段子段可以相連（相當於一段）。

$\color{blue}{\texttt{【思路】：}}$

對於環上的 dp，我們一般考慮破環爲鏈法，即把環轉化爲鏈。

破環爲鏈法中，又有幾種比較常見的處理方法，這裏列舉兩種：

1. 把數組複製兩遍，即把數組 $a_{1..n}$ 變成數組 $a_{1..2n}$，其中 $a_i=a_{i-n}(n+1 \leqslant i\leqslant 2n)$。這是最常用的一種破環爲鏈法。
2. 不復制，直接用其它方法把環轉化爲鏈。

在本題中，我們發現雖然第一種很常用，但是我們仍然無法用它來解決問題。所以我們考慮第二種方法。

我們發現用第二種方法時，我們無法把所有的情況統一在一起討論，這個時候，我們就需要用到另一種數學（$\texttt{OI}$ 也適用）的方法了，那就是：分類討論。

• 第一種情況：兩段子段都不跨越首尾，即類似於這樣的：

  $0001111100002220000$

  $0$ 表示該位不選，$1$ 表示選且屬於第一子段，$2$ 表示選且屬於第二子段。

  我們記 $f_i$ 表示 $a_{1..i}$ 的最大子段和，$g_i$ 表示 $a_{i..n}$ 的最大子段和，則答案爲：

  $\max\limits_{i=1}^{n} f_i+g_{i+1}$

• 第二種情況：其中一個子段跨越了首尾，即類似於此：

  $2220001111110000022$

  命名方法同上。

  直接求很難，我們就考慮反着做，畢竟正難則反。

  我們發現 $0$ 所佔據的正好就是兩個子段，於是，我們即 $f_i$ 表示 $a_{1..i}$ 的最小子段和，$g_i$ 表示 $a_{i+1..n}$ 的最小子段和。則答案爲：

  $\sum\limits_{i=1}^{n} a_i - \min\limits_{i=1}^{n} f_i + g_{i+1}$

  注意當 $f_i+g_{i+1}$ 正好就是整個區間的情況，需要特判，因爲這樣相當於選得數爲空。

$\color{blue}{\texttt{【代碼】：}}$

const int N=2e5+100;
#define ll long long
int n;ll ans,res,sum;
ll f[N],g[N],h[N],a[N];
const ll inf=0x3f3f3f3f3f;
inline ll calc_min_sum(){
	h[0]=h[n+1]=f[0]=g[n+1]=inf;
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		h[i]=min(h[i-1]+a[i],a[i]);
		f[i]=min(f[i-1],h[i]);
	}
	for(register int i=n;i>=1;i--){
		h[i]=min(h[i+1]+a[i],a[i]);
		g[i]=min(g[i+1],h[i]);
	}
	register ll ret=inf;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ret=min(ret,f[i]+g[i+1]);
	return ret;
}
inline ll calc_max_sum(){
	h[0]=h[n+1]=f[0]=g[n+1]=-inf;
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		h[i]=max(h[i-1]+a[i],a[i]);
		f[i]=max(f[i-1],h[i]);
	}
	for(register int i=n;i>=1;i--){
		h[i]=max(h[i+1]+a[i],a[i]);
		g[i]=max(g[i+1],h[i]);
	}
	register ll ret=-inf;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ret=max(ret,f[i]+g[i+1]);
	return ret;
}
int main(){
	freopen("t1.in","r",stdin);
	n=read();//我們的程序開始了 
	for(int i=1;i<=n;i++)
		sum+=(a[i]=read());
	ans=calc_max_sum();//求最大 
	res=calc_min_sum();//求最小 
	if (res==sum){//全部數子爲負 
		res=ans=-inf;//最大;次大 
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if (a[i]>res){
				ans=res;
				res=a[i];
			}
			else ans=max(ans,a[i]);
		}
		printf("%lld",ans+res);
	}
	else{//數字有正有負(普通情況) 
		printf("%lld",max(ans,sum-res));
	}
	return 0;
}