LOJ6622 THUPC2019 找樹

Problem

loj
貓錕出的神仙題……流下了不學無術的淚水

Solution

這題是個假的最優化，其實是個計數題

要求權值爲 $i$ 的生成樹個數，不妨考慮操作符全部爲異或的情況。計數的話還得用Matrix Tree定理，此時矩陣的元素變成了一個桶，且它們的乘法也應該是異或卷積，然而我們並不會定義異或卷積意義下的逆元。

如果我們把桶FWT了，那麼FWT後的數組每一位就都是獨立的了，這樣就可以把每一位單獨列成一個矩陣，用Matrix Tree定理即可求出答案數組相應位置的答案。最後把答案數組IFWT一遍即可得到答案數組。

而對於其他的操作符，就在相應的二進制位上採用相應的FWT方式即可。

時間複雜度 $O(n^32^w+n^2w2^w)$。
算了下感覺跑不過，下了個數據發現跑了13s，於是在求行列式的時候加了個如果對角線上有0就直接返回0之後就只需要跑1.4s了。。感覺有點迷

Code

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5010,mod=998244353,inv2=499122177;
template <typename Tp> inline int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f) x=-x;
}
int n,m,l,N,a[80][80],G[80][80][maxn],ans[maxn];
char op[20],s[maxn];
int pls(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int dec(int x,int y){return x<y?x-y+mod:x-y;}
int power(int x,int y)
{
	int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
	  if(y&1)
	    res=(ll)res*x%mod;
	return res;
}
void FWT(int *a,int f)
{
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	  for(int j=0;j<N;j+=(i<<1))
		for(int k=0;k<i;++k)
		{
			if(s[i]=='&')
			  a[j+k]=f?pls(a[j+k],a[j+k+i]):dec(a[j+k],a[j+k+i]);
			if(s[i]=='|')
			  a[j+k+i]=f?pls(a[j+k],a[j+k+i]):dec(a[j+k+i],a[j+k]);
			if(s[i]=='^')
			{
				int x=a[j+k],y=a[j+k+i];
				a[j+k]=pls(x,y);a[j+k+i]=dec(x,y);
				if(!f)a[j+k]=(ll)a[j+k]*inv2%mod,a[j+k+i]=(ll)a[j+k+i]*inv2%mod;
			}
		}
}
void input()
{
	int x,y,v;	
	read(n);read(m);scanf("%s",op+1);
	l=strlen(op+1);N=1<<l;
	for(int i=1;i<=l;i++) s[1<<(i-1)]=op[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		read(x);read(y);read(v);
		G[x][y][v]=dec(G[x][y][v],1);
		G[y][x][v]=dec(G[y][x][v],1);
		++G[x][x][v];++G[y][y][v];
	}
}
int gauss()
{
	int det=1,inv;
	for(int i=1,k;i<n;i++)
	{
		if(!a[i][i])
		{
			k=0;
			for(int j=i;j<n;j++) if(a[j][i]){k=j;break;}
			if(k==0) return 0;
			swap(a[i],a[k]);
		}
		det=(ll)det*a[i][i]%mod;inv=power(a[i][i],mod-2);
		for(int j=i+1;j<n;j++) a[i][j]=(ll)a[i][j]*inv%mod;
		for(int j=i+1;j<n;j++)
		  for(int r=i+1;r<n;r++)
		    a[j][r]=dec(a[j][r],(ll)a[j][i]*a[i][r]%mod);
	}
	return det;
}
int main()
{
	input();
	for(int i=1;i<n;i++)
	  for(int j=1;j<=i;j++)
	  {
	  	FWT(G[i][j],1);
	  	if(j<i) memmove(G[j][i],G[i][j],sizeof(G[i][j]));
	  }
	for(int s=0;s<N;++s)
	{
		for(int i=1;i<n;i++)
		  for(int j=1;j<n;j++)
		    a[i][j]=G[i][j][s];
		ans[s]=gauss();
	}
	FWT(ans,0);
	for(int i=N-1;~i;i--) if(ans[i]) {printf("%d\n",i);return 0;}
	puts("-1");
	return 0;
}