RS編碼和糾錯算法

 

13.2 RS編碼和糾錯算法

13.2.1. GF(2^m)域

RS(Reed-Solomon)碼在伽羅華域(Galois Field，GF)中運算的，因此在介紹RS碼之前先簡要介紹一下伽羅華域。

CD-ROM中的數據、地址、校驗碼等都可以看成是屬於GF(2^m) = GF(2⁸)中的元素或稱符號。GF(2⁸)表示域中有256個元素，除0，1之外的254個元素由本原多項式P(x)生成。本原多項式的特性是得到的餘式等於0。CD-ROM用來構造GF(2⁸)域的是

(13－1)
而GF(2⁸)域中的本原元素爲

α = (0 0 0 0 0 0 1 0)

下面以一個較簡單例子說明域的構造。

[例13.1] 構造GF(2³)域的本原多項式假定爲

α定義爲 = 0的根，即

α³＋α＋1 = 0
和 α³ = α＋1

GF(2³)中的元素可計算如下：

0	mod(α3＋α＋1) = 0
α0	mod(α3＋α＋1) = α0 = 1
α1	mod(α3＋α＋1) = α1
α2	mod(α3＋α＋1) = α2
α3	mod(α3＋α＋1) = α＋1
α4	mod(α3＋α＋1) = α2＋α
α5	mod(α3＋α＋1) = α2＋α1＋1
α6	mod(α3＋α＋1) = α2＋1
α7	mod(α3＋α＋1) = α0
α8	mod(α3＋α＋1) = α1
……

用二進制數表示域元素得到表13-01所示的對照表

表13-01 GF(2³)域中與二進制代碼對照表,

GF(23)域元素	二進制對代碼
0	(000)
α0	(001)
α1	(010)
α2	(100)
α3	(011)
α4	(110)
α5	(111)
α6	(101)

這樣一來就建立了GF(2³)域中的元素與3位二進制數之間的一一對應關係。用同樣的方法可建立GF(2⁸)域中的256個元素與8位二進制數之間的一一對應關係。在糾錯編碼運算過程中，加、減、乘和除的運算是在伽羅華域中進行。現仍以GF(2³)域中運算爲例：

加法例：α⁰＋α³ = 001＋011

= 010 = α¹

減法例：與加法相同

乘法例：α⁵·α⁴ = α^(5＋4)mod7

= α²

除法例：α⁵/α³ = α²

α³/α⁵ = α^－2

= α^(－2＋7)

= α⁵

取對數：log(α⁵) = 5

這些運算的結果仍然在GF(2³)域中。

13.2.2 RS的編碼算法

RS的編碼就是計算信息碼符多項式除以校驗碼生成多項式之後的餘數。

在介紹之前需要說明一些符號。在GF(2^m)域中，符號(n，k)RS的含義如下：

m	表示符號的大小，如m = 8表示符號由8位二進制數組成
n	表示碼塊長度，
k	表示碼塊中的信息長度
K=n－k = 2t	表示校驗碼的符號數
t	表示能夠糾正的錯誤數目

例如，(28，24)RS碼錶示碼塊長度共28個符號，其中信息代碼的長度爲24，檢驗碼有4個檢驗符號。在這個由28個符號組成的碼塊中，可以糾正在這個碼塊中出現的2個分散的或者2個連續的符號錯誤，但不能糾正3個或者3個以上的符號錯誤。

對一個信息碼符多項式，RS校驗碼生成多項式的一般形式爲

(13－2)
式中，m₀是偏移量，通常取K₀ = 0或K₀ = 1，而(n-k)≥2t (t爲要校正的錯誤符號數)。

下面用兩個例子來說明RS碼的編碼原理。

[例13.2] 設在GF(2³)域中的元素對應表如表13-01所示。假設(6，4)RS碼中的4個信息符號爲m₃、m₂、m₁和m₀，信息碼符多項式爲

(13－3)
並假設RS校驗碼的2個符號爲Q₁和Q₀，的剩餘多項式爲

這個多項式的階次比的階次少一階。

如果K₀ = 1，t = 1，由式(13－2)導出的RS校驗碼生成多項式就爲

= (13－4)
根據多項式的運算，由式(13－3)和式(13－4)可以得到

m₃x⁵＋m₂x⁴＋m₁x³＋m₀x²＋Q₁x＋Q₀ = (x－α)(x－α²)Q(x)

當用x = α和x = α²代入上式時，得到下面的方程組，

經過整理可以得到用矩陣表示的(6，4)RS碼的校驗方程：

求解方程組就可得到校驗符號：

在讀出時的校正子可按下式計算：

　

[例13.3] 在例13.2中，如果K₀ = 0，t = 1，由式(13－2)導出的RS校驗碼生成多項式就爲

= (13－5)
根據多項式的運算，由(13－3)和(13－5)可以得到下面的方程組：

方程中的αⁱ也可看成符號的位置，此處i = 0，1，…，5。

求解方程組可以得到RS校驗碼的2個符號爲Q₁和Q₀，

(13－6)

假定m_i爲下列值：

信息符號	m3 = α0 = 001 m2 = α6 = 101 m1 = α3 = 011 m0 = α2 = 100
校驗符號	Q1 = α6 = 101 Q0 = α4 = 110
校正子	s0 = 0 s1 = 0

代入(13－6)式可求得校驗符號：

Q₁ = α⁶ = 101

Q₀ = α⁴ = 110

13.2.3 RS碼的糾錯算法

RS碼的錯誤糾正過程分三步： (1)計算校正子(syndrome)，(2)計算錯誤位置，(3)計算錯誤值。現以例13.3爲例介紹RS碼的糾錯算法。

校正子使用下面的方程組來計算：

爲簡單起見，假定存入光盤的信息符號m₃、m₂、m₁、m₀和由此產生的檢驗符號Q₁、Q₀均爲0，讀出的符號爲m₃′、m₂′、m₁′、m₀′、Q₁′和Q₀′。

如果計算得到的s₀和s₁不全爲0，則說明有差錯，但不知道有多少個錯，也不知道錯在什麼位置和錯誤值。如果只有一個錯誤，則問題比較簡單。假設錯誤的位置爲α_x，錯誤值爲m_x，那麼可通過求解下面的方程組：

得知錯誤的位置和錯誤值。

如果計算得到s₀ = α²和s₁ = α⁵，可求得α_x = α³和m_x = α²，說明m₁出了錯，它的錯誤值是α²。校正後的m₁ = m₁′＋m_x ，本例中m₁=0。

如果計算得到s₀ = 0，而s₁≠0，那基本可斷定至少有兩個錯誤，當然出現兩個以上的錯誤不一定都是s₀ = 0和s₁≠0。如果出現兩個錯誤，而又能設法找到出錯的位置，那麼這兩個錯誤也可以糾正。如已知兩個錯誤和的位置和，那麼求解方程組：

就可知道這兩個錯誤值。

CD-ROM中的錯誤校正編碼CIRC和裏德-索洛蒙乘積碼(Reed Solomon Product－like Code，RSPC)就是採用上述方法導出的。

 轉自http://wenku.baidu.com/view/8cd8c8cf89eb172ded63b7ff.html