多項式 求逆/除法/取模/開根/ln/exp/求冪 （待添加多點求值）

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多項式求逆

給定$A(x)$求$B(x)=A^{-1}(x)(mod x^n)$
使用倍增構造。
若n=1，則直接求0次項的乘法逆元。
若n>1
設$B(x)$滿足
$A(x)B(x)\equiv 1 \mod x^{n/2}$

$A(x)B(x)-1\equiv 0 \mod x^{n/2}$

$(A(x)B(x)-1)^2\equiv 0 \mod x^{n}$

$A^2(x)B^2(x)-2A(x)B(x)+1\equiv 0 \mod x^{n}$

$A(x)(2B(x)-A(x)B^2(x))\equiv 1 \mod x^{n}$

$2B(x)-A(x)B^2(x)\equiv A^{-1}(x) \mod x^{n}$

遞歸即可，複雜度$O(nlog(n))$

多項式除法

已知$A(x),B(x)$，它們的次數分別爲$n,m(n>m)$

$A(x)=B(x)C(x)+D(x)$

求$C(x)$是除法，$D(x)$是取模，其中$C(x)$的係數不大於$n-m$，$D(x)$的係數小於$m$

首先可以發現$A'(x)=x^nA({1\over x})$就是將A的係數翻轉過來。

同乘$x^n$
那麼
$x^nA({1\over x})=x^mB({1\over x})x^{n-m}C({1\over x})+x^{n-m+1}x^{m-1}D({1\over x})$

將這個東西$\mod x^{n-m+1}$，可以發現對$C(x)$的係數不會有影響。
於是
$A'(x)\equiv B'(x)C'(x) \mod x^{n-m+1}$

$C'(x)\equiv A'(x)B'^{-1}(x) \mod x^{n-m+1}$

於是多項式求逆，然後乘起來就沒了。

多項式取模

$A(x)=B(x)C(x)+D(x)$

先除，再乘，再減，就沒了。

多項式開方

給定$A(x)$求$B^2(x)=A(x)(mod x^n)$
使用倍增構造。
當n=1時，相當於求0次項的二次剩餘。
（然而我並不會二次剩餘，而且很多題裏的常數項是真的常數，所以這裏忽略二次剩餘）

補一下二次剩餘這個坑吧
我這輩子應該都學不會那個C開頭的算法了。
但是可以BSGS對原根求出離散對數，把指數除個2，再冪回去。
對於二次剩餘這個做法是正確的，如果指數是奇數不能除2，則這個數是沒有二次剩餘的。

（好像用後面的多項式求冪也能求這個）
當n>1時，
設$B(x),G(x)$滿足
$B^2(x)\equiv A(x) \mod x^{n/2},G^2(x)\equiv A(x) \mod x^{n}$

$G^2(x)-B^2(x)\equiv 0 \mod x^{n/2}$

兩邊平方
$G^4(x)+B^4(x)-2G^2(x)B^2(x)\equiv 0 \mod x^{n}$

$(G^2(x)+B^2(x))^2\equiv 4G^2(x)B^2(x) \mod x^{n/2}$

$G^2(x)+B^2(x)\equiv 2G(x)B(x) \mod x^{n/2}$

因爲$G^2(x)\equiv A(x) \mod x^{n}$
$A(x)+B^2(x)\equiv 2G(x)B(x) \mod x^{n/2}$

${A(x)\over 2B(x)}+{B(x)\over 2}\equiv G(x) \mod x^{n/2}$

求逆然後乘一乘，加一加就行了。

多項式求ln

$ln(A(x))=\int [ln(A(x))]'dx$
$=\int {A'(x)\over A(x)}dx$
求導，求逆，然後積分即可。

多項式exp

牛頓迭代

有函數$g()$，解多項式$f$的前n項使$g(f)=0$
$f$有2n項，設前n項使$f_0$
對$g(f)$在$f_0$處泰勒展開
得
$g(f)\equiv g(f_0)+g'(f_0)(f-f_0)+{g''(f0)(f-f_0)^2\over 2!}+... \mod x^{2n}$

注意到從第三項開始，在mod 2n意義下=0
所以
$g(f)\equiv g(f_0)+g'(f_0)(f-f_0) \mod x^{2n}$

$\because g(f)=0$

$\therefore g(f_0)+g'(f_0)(f-f_0)\equiv 0 \mod x^{2n}$

$f\equiv f_0-{g(f_0)\over g'(f_0)} \mod x^{2n}$

求exp

求$B(x)\equiv exp(A(x)) \mod x^n$
設$g(x)=ln(x)-A$，那麼目標是$g(B)=0$
$B\equiv B_0-{g(B_0)\over g'(B_0)}\mod x^n$

$\because g(B_0)'={1\over B_0}$

$\therefore B\equiv B_0-B_0(ln(B_0)-A(x))\mod x^n$

$B\equiv B_0(1+A(x)-ln(B_0))\mod x^n$
當n=1時直接求（程序中默認常數項=0）
當n>1時倍增

多項式求冪

先ln，再乘上冪數，再exp。

代碼

這個代碼對應的是bzoj3625 CF438E

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 3201000
#define ll long long
#define mo 998244353
using namespace std;
int n,m;
ll len,a[N],b[N],c[N];
ll mi(ll a,ll b)
{
	a%=mo;ll jy=1;
	for(;b;b/=2,a=a*a%mo) if(b%2==1) jy=jy*a%mo;
	return jy;
}
struct polynomial{
	ll D[N],W[N],A[N],B[N],C[N],E[N],F[N];
	void DFT(ll *a,int sig,int deg)
	{
		int len,lg;
		for(len=1,lg=0;len<=deg;len*=2,lg++);
		W[0]=1;W[1]=mi(3,(mo-1)/len);fo(i,2,len) W[i]=W[i-1]*W[1]%mo;
		fo(i,0,len-1)
		{
			int p=0;
			for(int j=0,tp=i;j<lg;j++,tp/=2) p=(p<<1)+(tp%2);
			D[p]=a[i];
		}
		for(int m=2;m<=len;m*=2)
		{
			int half=m/2,tmp=len/m;
			for(int j=0;j<len;j+=m)
			{
				fo(i,j,j+half-1)
				{
					ll u=D[i],v=D[i+half]*((sig==1)?W[(i-j)*tmp]:W[len-(i-j)*tmp])%mo;
					D[i]=(u+v)%mo;
					D[i+half]=(u-v+mo)%mo;
				}
			}
		}
		if(sig==-1)
		{
			ll inv=mi(len,mo-2);
			fo(i,0,len-1) D[i]=D[i]*inv%mo;
		}
		fo(i,0,len-1) a[i]=D[i];
	}
	void mul(ll *a,ll *b,ll *c,int len) //C
	{
		fo(i,0,len-1) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
		DFT(A,1,len);DFT(B,1,len);
		fo(i,0,len+len) A[i]=A[i]*B[i]%mo;
		DFT(a,-1,len);
		fo(i,0,len+len) c[i]=A[i];
	}
	void inv(ll *a,ll *b,int deg) ///B
	{
		if(deg==1)
		{
			b[0]=mi(a[0],mo-2);
			b[1]=0;
			return;
		} 
		inv(a,b,deg/2);
		fo(i,0,deg-1) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
		fo(i,deg,deg+deg-1) A[i]=B[i]=0;
		DFT(A,1,deg);DFT(B,1,deg);
		fo(i,0,deg+deg-1) A[i]=(A[i]*B[i]%mo*B[i]%mo)%mo;
		DFT(A,-1,deg);
		fo(i,0,deg-1) b[i]=(b[i]*2ll-A[i]+mo)%mo;
		fo(i,deg,deg+deg) b[i]=0;
	}
	void divide(ll *a,int n,ll *b,int m,ll *c) //C
	{
		int len=1;
		for(;len<n-m+1;len*=2);
		fo(i,0,m-1) c[i]=b[m-i-1],C[i]=0;
		fo(i,min(m,n-m+1),len+len) c[i]=C[i]=0;
		inv(c,C,len);
		fo(i,0,n-1) A[i]=a[n-i-1];
		fo(i,n-m+1,len+len) A[i]=C[i]=0;
		DFT(A,1,len);DFT(C,1,len);
		fo(i,0,len+len) A[i]=A[i]*C[i]%mo;
		DFT(A,-1,len);
		fo(i,0,n-m) c[i]=A[n-m-i];	
	}
	void mod(ll *a,int n,ll *b,int m,ll *c) //C
	{
		int len=1;
		for(;len<=n;len*=2);
		divide(a,n,b,m,c);
		fo(i,n-m+1,len+len) c[i]=0;
		fo(i,0,m-1) A[i]=b[i];
		fo(i,m,len+len) A[i]=0;
		DFT(A,1,len);DFT(c,1,len);
		fo(i,0,len+len) A[i]=A[i]*c[i]%mo;
		DFT(A,-1,len);
		fo(i,0,m-2) c[i]=(a[i]-A[i]+mo)%mo;
	}
	void sqrt(ll *a,ll *b,int deg)  //C
	{
		if(deg==1)
		{
			b[0]=1;   //默認常數爲1(不用二次剩餘)
			return;
		}
		sqrt(a,b,deg/2);
		inv(b,C,deg);
		fo(i,0,deg-1) A[i]=a[i];
		fo(i,deg,deg+deg) A[i]=0,C[i]=0;
		DFT(A,1,deg);DFT(C,1,deg);
		fo(i,0,deg+deg-1) A[i]=A[i]*C[i]%mo;
		DFT(A,-1,deg);
		ll ny2=mi(2,mo-2);
		fo(i,0,deg-1) b[i]=(b[i]*ny2%mo+A[i]*ny2%mo)%mo;
	}
	void ln(ll *a,ll *b,int deg)  //C
	{
		inv(a,C,deg);
		fo(i,0,deg-1) b[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mo;
		fo(i,deg,deg+deg) C[i]=b[i]=0;
		DFT(b,1,deg);DFT(C,1,deg);
		fo(i,0,deg+deg-1) b[i]=b[i]*C[i]%mo;
		DFT(b,-1,deg);
		fd(i,deg,1) b[i]=b[i-1]*mi(i,mo-2)%mo;
		fo(i,deg,deg+deg) b[i]=0;
		b[0]=0;
	}
	void exp(ll *a,ll *b,int deg)  //E
	{
		if(deg==1)
		{
			b[0]=1;  //默認常數爲0
			b[1]=0;
			return;
		}
		exp(a,b,deg/2);
		ln(b,E,deg);
		fo(i,0,deg-1) E[i]=(a[i]-E[i]+mo)%mo;
		E[0]=(1+E[0]+mo)%mo;
		fo(i,deg,deg+deg) b[i]=E[i]=0;
		DFT(b,1,deg);DFT(E,1,deg);
		fo(i,0,deg+deg-1) b[i]=b[i]*E[i]%mo;
		DFT(b,-1,deg);
		fo(i,deg,deg+deg) b[i]=0;
	}
	void pmi(ll *a,ll *b,ll sig,ll deg) //F
	{
		ln(a,F,deg);
		fo(i,0,deg-1) F[i]=F[i]*sig%mo;
		exp(F,b,deg);
	}
}poly;
int main()
{
	int mx=0;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	fo(i,1,n)
	{
		int x;scanf("%d",&x);
		a[x]=mo-4;
		mx+=x;
	}
	for(len=1;len<=m;len*=2);
	a[0]++;
	poly.pmi(a,b,mi(2,mo-2),len);
	b[0]++;
	poly.inv(b,a,len);
	fo(i,1,m) printf("%lld\n",2ll*a[i]%mo);
}
}