學習了一門課《信息安全數學基礎》，這門課主要講述的是關於密碼學的數學基礎，這門課本質就是“初等數論 + 抽象代數”。我更願意概括爲“質數 + 代數系統”。本文的目的在於將這一門課用“質數 + 代數系統”兩個部分以及“素數在基本代數系統的應用”一共三個部分總結起來，希望能夠加深自己的印象。
第一部分：素數（亦稱質數）
素數的來源
個人感覺是現在的基礎數學系統還有很多不完備的地方，例如素數相關的理論，到現在都還沒有定論，例如“黎曼猜想”，2018.9.24 日英國阿迪亞爵士宣稱自己證明了“黎曼猜想”，但是他的報告，就像網友評論的“讓物理學家尷尬，讓數學家沉默”。素數現階段還是讓人們爲之着迷的一個領域，就像楊老師曾說過，素數是數學皇冠上的明珠，是信息安全的“保護神”，大概就是如此吧。
概念
素數的概念並不陌生，小學時還曾經背誦過1~100以內的所有素數，事實表明這還是有用的，其中素數的定義就不在贅述。
素數的相關定理
素數看起來並不是像其他普通數字理論那樣多麼有連續性，素數似乎是以一種“離散”的方式，散落在整個數軸上，所以和它相關的理論似乎以也是挺獨立的，並且在初等數論中，素數相關理論討論的更是一些比較具體的場景。
從素數的數量上看：以下定理基本描述了素數的個數的基本問題。
定理1-1 素數有無窮多個。
定理1-2 素數在不超過x 的範圍的個數。
定理1-3 歐拉定理
定理1-4 費馬定理。
定理1-5 Wilson定理。
第二部分：代數系統（模運算）
在第二部分，我們只討論一種運算----模運算，它廣泛的存在於我們平時的數學運算中，其中10進制下的加減乘除運算，個人其實覺得也可以當作是一種“模10的運算”。
一個整數有幾種表示方式：
第一種，歐幾里得除法。
使用歐幾里得除法，我們可以將任何一個整數表示成這種形式，其中我們最爲感興趣的就是餘數，所以就有了同餘的內容。
第二種，算術基本定理。
任意一個整數n>1都可以表示成素數的乘積，且在不考慮乘積順序的情況下，該表達式是唯一的，推廣的來說，可以表示成一些素數次方的乘積，並且不考慮素數的情況下也是唯一的。
數的表示方法還有很多，例如哥德爾數，多進制等在此不再繼續討論。
基本的運算工具：
最大公因數，最小公倍數這兩個運算在模運算種非常重要，最大公因數描述了模運算的最大下界運算界限，當(a,b)=1時，自然不存在最大公因數了，換個角度來說對於這兩個對象的有效模運算也進行到頭了。同時最小公倍數描述了模運算的最小上界，倍數一定是最小公倍數的倍數。其中這裏有一個最爲重要的運算就是“輾轉相除求最大公因數”,具體算法這裏不再贅述（信息安全p22）。
定理2-1 整數a,b 互素的充分必要條件是存在整數s,t使得：
Sa + tb = 1 （這也是一個求逆元的方法）
同餘：
同餘顧名思義，就是有相同的餘數的意思。
同餘的定義： a 模m同餘b等同於m|a-b。
同於式的定義： f(x)模m 同餘b。只不過是換成了多項式。
二次同餘的定義：x2模m 同餘b。只不過換成了平方項。
模同餘具有的性質：
1.首先這是一種等價關係，具有自反，對稱，傳遞性。
2.滿足加法和乘法。（在同餘式運算種可以直接加，乘）
3.兩個同餘使用加法和乘法的組合也是同餘的。（可計算性）
4.（d,m）= 1 模同餘兩邊纔可以約數。
5.模同餘兩邊，包括模數可以同時乘一個數。
6.模同餘兩邊，包括模數可以同時除一個數,d|(a,b,m)。
7.模數同餘，則模模數的因子也同餘。
8.模多個數同餘，則模多個數的最小公倍數同餘。
剩餘，剩餘類，完全剩餘系：
我們可以發現，同餘關係廣泛存在於整數集合中，所以我們可以藉助這個關係將整數劃分成多個集合。任意一個整數一定在這其中的一個集合中。
例如，可以使用模3將所有的整數分爲三類，分別是模3的0，1，2 的剩餘類，其中每一個類的元素就叫做剩餘。其中0，1，2就叫做模3 的一個完全剩餘系。
完全剩餘系，簡化剩餘系：
一個完全剩餘系存在的兩個條件：
- 有m個整數。
- 其中兩兩不同餘。
剩餘系的遍歷問題：
- 單個模的完全剩餘系遍歷問題
a*k + b,k = i
- 兩個模的完全剩餘系遍歷問題
m2*k1 + m1*k2 , k = i
- 多個模的完全剩餘系遍歷問題
簡化剩餘系餘歐拉函數：
歐拉函數：小於m 的與m互素的數的個數。
簡化剩餘：一個模m的剩餘類叫做簡化剩餘類，如果該類中存在一個與m 互素的剩餘。
簡化剩餘系：在所有的簡化剩餘類中，從每個類中任取一個數組成的整數集合叫之。
簡化剩餘系中同樣存在遍歷問題。
歐拉函數的性質：歐拉函數是“乘性函數”。