編程珠璣 抽樣問題（蓄水池抽樣）

前天晚上臥談時大家聊起來這個問題，討論無果後上網搜尋證明過程，發現並沒有什麼有理有據讓人信服的解釋。昨天經過思考後又經過討論，終於找到一個還算看的過去的證明。

問題

如何從0…n-1中隨機選擇m個整數，並且按照隨機順序輸出最後的結果？如果列表中允許出現重複的整數，如何才能生成一個有序列表？如果既允許重複又需要按照隨機順序輸出結果，那該怎樣？

書上的答案

我們總是選擇第一行，並使用二分之一的概率選擇第二行，使用三分之一的概率選擇第三行，以此類推。在該過程結束的時候，每一行具有相同的選中概率（1/n，其中n是文件中的總行數）：

    i=0
    while more input lines
        with probability 1.0/++i
            choice = this input line
    print choice

證明

按照僞代碼，我們使用一個變量choice來存儲選中的內容。
在讀入第k行時，用這行的概率1k+1 來判斷這行是否被選中（因爲k從0開始計數）。如果選中的話則用此行內容來填充choice。
【1】當n=1時，選中1的概率爲1，此時choice中的內容爲第一行的內容。
【2】當n=2時，選中2的概率爲12 ，此時用2填充choice的概率即爲12 ，所以此時choice中的內容爲1的概率爲1−12 ，即此時choice中爲1和爲2的概率皆爲12 。
【3】當n=3時，選中3的概率爲13 ，此時用3填充choice的概率爲13 ，所以此時chioce中的內容爲3的概率爲13 ，不爲3的概率爲1−13 ，當不爲3的時候，此時情況退化爲n=2的情形，即從3前面的內容中任選一個。而前面的內容出現概率相等。因1和2的內容出現的概率皆爲12 ，故在此情況下1和2內容出現的概率爲12∗（1−13） ，即13 。
……
【4】假設n=k時結論成立
【5】當n=k+1時，選中k的概率爲1k+1 ，此時用k填充choice的概率爲1k+1 ，所以此時chioce中的內容爲k+1的概率爲1k+1 ，不爲k的概率爲1−1k+1 ，當不爲k+1的時候，此時情況退化爲n=k的情形，即從k+1前面的內容中任選一個。而前面的內容出現概率相等。因前面的內容出現的概率皆爲1k ，故在此情況下前面內容出現的概率爲1k∗（1−1k+1） ，即1k+1 。

在最後一步似乎還有部分不是很清楚的地方，歡迎指正