Codeforces Round #646 F - Rotating Substrings (1363F)

Rotating Substrings

題意

給定兩個等長的字符串 $a,b$ (長度至多2000)，對第字符串 $a$ 可以做如下操作:將一個字串向右旋轉一格，問最少幾次操作將其變成 $b$ 字符串。

觀察

旋轉操作過於醜陋，事實上觀察容易發現，對區間 $[l,r]$ 旋轉，等價於將 $a_r$ 移到 $a_l$ 前面，此外沒有影響。

分析

先考慮可行性，顯然如果兩個字符串各個字符數量不一致則無解，反之一定有解。

再分析如何求解最優解。事實上旋轉操作可以視爲將一個元素挑出來，移到前面的任何位置。可以發現，元素只能向前移，不能向後移，所以後面的元素一定先於前面的元素確定，考慮從後向前推。

不失一般性，考慮特定的兩位 $a_i,b_j$ ， 假設其後的內容已經被確定，考慮完成之前的內容的匹配需要的次數，記爲 $dp(i,j)$，那麼有如下三種情況

• $dp(i,j) = dp(i-1,j)+1$ ：即花費 $1$ 的代價將 $a_i$ 移動到之前某個位置
• $dp(i,j) = dp(i-1,j-1) \quad if\quad a_i=b_j$ ：即兩者末位一樣，可以一起消掉
• $dp(i,j) = dp(i,j-1) \quad if\quad sa[n][b[j]]-sa[i][b[j]]>sb[n][b[j]]-sb[j][b[j]]$ ：其中 $sa[p][q]$ 表示字符串 $a$ 中 字符 $q$ 個數到 $p$ 爲止的前綴和。 這裏的條件即是要求 $a$ 的 $[i+1,n]$ 區間內字符 $b_j$ 對應的字符的個數多於$b$ 的 $[j+1,n]$ 區間內 $b_j$ 對應的字符的個數。這個操作的物理意義是將 $a$ 中後面的某個 $b_j$ 字符移動到當前位置，並且和 $b_j$ 向抵消。這步移動的操作對應之前某次進行的情況1，且代價在那時已經進行過計算。
• $dp(i,j) = 0 \quad if\quad i=0$ ：當字符串 $a$ 已經被全部pick過或者消去過時，那麼在滿足有解條件的情況下，一定可以匹配出對應的答案，且所消耗的操作次數之前已經計算過，所以結果就是0。

於是根據上述條件容易得到dp遞推式和邊界條件，且情況4已經囊括了所有的邊界條件，因爲 $i\leqslant j$ 在遞歸過程中恆成立，唯一使 $i-j$ 減小的情況3發生 $j-1$ 的必要條件之一是 $i<j$ 。且 $dp(i,j)$ 的物理意義也容易得到：$a$ 字符串到 $i$ 爲止在塞入後面某些移過來的元素後能夠與 $b$ 字符串到 $j$ 爲止完全匹配的最少操作次數。

代碼

得到dp式子以後容易編碼，可以用記憶化搜索實現。事先對前綴和做預處理即可。

總共狀態數是 $n^2$ ，每個狀態轉移需要 $O(1)$ 時間，所以總複雜度是 $O(n^2)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2005;
const int inf=1e9+7;
int sa[2005][26],sb[2005][26];
int n;
int a[maxn],b[maxn];
int dp[maxn][maxn];

int dfs(int i,int j){
    if(i==0)return 0;
    int &res = dp[i][j];
    if(res==-1){
        res = dfs(i-1,j)+1;
        if(a[i]==b[j]) res = min(res,dfs(i-1,j-1));
        if(sa[n][b[j]]-sa[i][b[j]]>sb[n][b[j]]-sb[j][b[j]]) res = min(res,dfs(i,j-1));
    }
    return res;
}

int solve(){
    cin>>n;
    string tmp;
    cin>>tmp;
    for(int i=0;i<n;++i)a[i+1]=tmp[i]-'a';
    cin>>tmp;
    for(int i=0;i<n;++i)b[i+1]=tmp[i]-'a';
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<26;++j){
            sa[i][j]=sa[i-1][j];
            sb[i][j]=sb[i-1][j];
        }
        sa[i][a[i]]++;
        sb[i][b[i]]++;
    }
    for(int i=0;i<26;++i)if(sa[n][i]!=sb[n][i])return -1;
    for(int i=0;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<=n;++j){
            dp[i][j]=-1;
        }
    }
    int ans=dfs(n,n);
    if(ans==inf)ans=-1;
    return ans;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    int T;
    cin>>T;
    while (T--) {
        cout<<solve()<<'\n';
    }
}