A Dual-Microphone Speech Enhancement Algorithm Based on the Coherence Function

(A Dual-Microphone Speech Enhancement Algorithm Based on the Coherence Function) ¹

1.系統框圖

系統框圖如下，輸入雙通道信號分幀加窗、算個相干函數，就得到了濾波係數$G$,看起來好簡單，那就看看它的詳細過程

A. Definition of Coherence Function

輸入帶噪信號定義爲：
$y_{i}(m)=x_{i}(m)+x_{i}(m),i=1,2 \tag{1}$

其中$i$爲麥克風序號，$m$爲採樣點

$STFT$到時頻域：
$Y_{i}(\omega_{l},k)=X_{i}(\omega_{l},k)+N_{i}(\omega_{l},k),i=1,2 \tag{2}$
其中$\omega_{l}$爲角頻率,$k$爲幀序號，下面的表示會省略掉$l和k$（for better clarity）

輸入信號$y_{1},y_{2}$間的復相干函數定義爲：
$\Gamma _{y_{1}y_{2}}(\omega ,k)=\frac{\phi_{y_{1}y_{2}}}{\sqrt{\phi_{y_{1}y_{1}}\phi_{y_{2}y_{2}}}} \tag{3}$
其中$\phi_{uu}$爲$PSD$（power spectral density，$\phi_{uv}$爲$CSD$（cross-power spectral density）
在遠場模型下，一個確定的方向聲源在兩個麥克風$\theta$角方向入射，在兩個麥克風處接收到的信號的理想相干函數可以表示爲 ²
$\Gamma _{u_{1}u_{2}}(\omega)=e^{j\omega f_s(d/c)cos(\theta)} \tag{4}$
關於這個函數，咱們可以畫個圖驗證以下，信號從雙麥$45^o$入射，估計出來的相干函數和理想曲線（上式）的實部和虛部對比作圖如下：

從圖中可以看到，式（4）與實際是相符的，但是要注意，這個是無混響的模型（order=0），混響越重這個曲線偏離越大

B. Proposed Method Based on Coherence Function

假設噪聲和信號不相關，則接收信號的CSD爲目標信號的CSD和噪聲信號CSD之和：
$\Gamma _{y_{1}y_{2}}=\Gamma _{x_{1}x_{2}}+\Gamma _{n_{1}n_{2}} \tag{5}$
兩邊同時除以${\sqrt{\phi_{y_{1}y_{1}}\phi_{y_{2}y_{2}}}}$，變成這樣：
$\Gamma _{y_{1}y_{2}}(\omega ,k)=\frac{\phi_{x_{1}x_{2}}}{\sqrt{\phi_{y_{1}y_{1}}\phi_{y_{2}y_{2}}}}+\frac{\phi_{n_{1}n_{2}}}{\sqrt{\phi_{y_{1}y_{1}}\phi_{y_{2}y_{2}}}} \tag{6}$
同樣假定接收信號的PSD爲目標信號的PSD和噪聲信號PSD之和，同時定義:
$SNR_i = \frac{\phi_{x_{i}x_{i}}}{\phi_{n_{i}n_{i}}} \tag{7}$
　　因爲麥克風間距比較小，可以大致認爲兩個麥克風處的$SNR$基本相同，這樣一頓變變變，
接收信號的相干函數就變成了：
$\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}(\omega ,k)=\Gamma _{x_{1}x_{2}}\frac{\hat{SNR}}{1+\hat{SNR}}+\Gamma _{n_{1}n_{2}}\frac{1}{1+\hat{SNR}} \tag{8}$
　　看下這個公式，可以知道，當$SNR高（\rightarrow +\infty）$時，$\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}(\omega ,k)$主要受目標信號的相干函數影響，當$SNR低（\rightarrow 0）$時，$\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}(\omega ,k)$主要受噪聲信號的影響（其實這個結論不經過這一頓猛於虎的操作也能理解），
　　好了，接下來，就到最重要的一個分析公式了，將理想的相干函數（4）代入到（8）（歐拉公式替換）得到：
　　$\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}(\omega)=[cos(\omega \tau)+jsin(\omega \tau)]\frac{\hat{SNR}}{1+\hat{SNR}}+[cos(\omega \tau cos\theta)+jsin(\omega \tau cos\theta)]\frac{1}{1+\hat{SNR}} \tag{9}$
　　其中$\tau =f_s (d/c)$，後面會根據（9）式的特定設計想要的增益函數

下面來分析下噪聲在不同位置時的情況：

• $\theta=90^o$
  當干擾在雙麥正前方的時候，看式(4)，cos(90)=0，因此這個時候，噪聲產生的相干函數之爲1，爲實數，沒有虛部，看式(9)，可以知道，這個時候只有當語音存在的時候，$\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}(\omega)$纔有虛部（這個特點在這裏好像並沒有起到什麼作用？），因此，這種情況下，增益函數就應該抑制相干函數實部爲1的信號，如是，提出增益函數如下：
  $G_1(\omega,k)=1-\begin{vmatrix} real(\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}(\omega,k)) \end{vmatrix} ^{P(\omega)}\tag{10}$
  這個函數的曲線如下³:

　　從這個曲線圖來看，當輸入接近1的時候，$G_1$的值很小，起到抑制作用，同時，指數係數$P$能夠控制衰減量的大小。

• $90^o<\theta\leq 180^o$
  　　上面$\theta=90^o$咱們看的是相干函數的實部特點，這裏$90^o<\theta<180^o$的時候，干擾信號的相干函數也是有虛部的，那就看下帶噪信號相干函數的虛部有什麼規律
  　　由（9）可以直接寫出$\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}(\omega)$的虛部表達式如下：
  　　$imag[\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}(\omega)]=sin(\omega \tau)\frac{\hat{SNR}}{1+\hat{SNR}}+sin(\omega \tau cos\theta)\frac{1}{1+\hat{SNR}} \tag{11}$
  　　當$\hat{SNR}高（\rightarrow +\infty）$時，$\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}(\omega ,k)$主要受目標信號的相干函數影響，當$\hat{SNR}低（\rightarrow 0）$時，$\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}(\omega ,k)\approx sin(\omega \tau cos\theta)$，即主要受噪聲的影響，
  　　根據前面假定的$\omega<\pi,fs=16000$，麥間距爲20mm左右，因此$\tau =fs*d/c也是小於1$，這樣的條件下$sin(\omega \tau cos\theta)$恆小於0的，這就揭示了一個現象：當噪聲佔主要成分時，相干函數虛部爲0的概率就更大。
  　　這裏也舉兩個極端的例子，
  　　當$\theta=180^o$時，若$imag[\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}]<0$，根據式（11）可以得到$\hat{SNR}<1（0dB）$，而
  　　當$\theta=90^o$時，這是上面已經討論過的一種情況，此時若還需要$imag[\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}]<0$，則根據（11）式得到$\hat{SNR}<0$，而由$\hat{SNR}$的定義（7）可以知道$\hat{SNR}$是恆爲正的，因此這也的確不屬於這裏討論的範圍。
  　　綜上討論，當$90^o<\theta\leq 180^o$時，增益函數設計爲：
  　　$G_2(\omega ,k) = \left\{\begin{matrix} \begin{aligned} &mu,imag[\hat{\Gamma }_{y_{1}y_{2}}(\omega)]<Q(\omega)\\ &1,otherwise \end{aligned} \end{matrix}\right.\tag{12}$

最終的增益函數：
　　討論了$\theta=90^o$和$90^o<\theta\leq 180^o$的兩種情況，最後得到的增益函數爲
　　$G(\omega,k)=G_1(\omega,k)*G_2(\omega,k)$
當一個濾波器激活的時候另一個濾波器接近1，因此兩個濾波器相互並不影響
最後實現的時候還根據不同頻段的特點分頻段處理，詳細內容可以看看作者論文中的分析

看看處理前後的區別：


這篇論文中的方法輸出音頻幅度爲變小一些，但放大點可以看到對$90^o$的干擾抑制還是很明顯的
References:

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1. Yousefian, N., & Loizou, P. (2011). A Dual-Microphone Speech Enhancement Algorithm Based on the Coherence Function. IEEE Transactions on Audio, Speech, and Language Processing. ↩︎

2. M. Brandstein and D. Ward, Microphone Arrays: Signal Processing Techniques and Applications. Berlin, Germany: Springer Verlag,2001（p.32） ↩︎

3. N. Yousefian, K. Kokkinakis, and P. C. Loizou, “A coherence-based algorithm for noise reduction in dual-microphone applications,” in Proc.Eur. Signal Process. Conf. (EUSIPCO’10), Alborg, Denmark, Aug.
   2010, pp. 1904–1908 ↩︎