Codeforces1043F Make It One【gcd爲1的最小子集】

題目描述：

給出長度爲$n$的序列$a_i$，選出最少的數（非空）使得它們的$gcd$爲$1$
$n,a_i\le3*10^5$，無解輸出$-1$

題目分析：

$3*10^5$以內質因子最多的數只有6個，而如果有解，考慮其中質因子最少的數$x$，其餘每個數一定囊括了一個不在$x$中的質因子，且各自囊括的那個質因子不同，（相當於不斷去掉gcd的因子）。也就是說答案最多是$x$的質因子個數+1，也就是$7$。
這張例子截自洛谷的題解：

那麼枚舉答案的個數$k$，求出選出$k$個數組成$gcd=1$的方案$f(1)$，只需要求出選出$k$個數組成$gcd$爲$d$的倍數的方案$F(d)$，我們就可以通過容斥或莫比烏斯反演求出$f(1)$。
而 $F(d)=C_{cnt_d}^k$，$cnt_d$表示$a_i$中爲$d$的倍數的數的個數。
由莫比烏斯反演有：$f(d)=\sum_{d|x}F(x)\mu(\frac xd)$
由容斥有：$f(d)=F(d)-\sum_{d|x}f(d)$

於是就做完了，複雜度$O(n\ln n*7)$

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300005
using namespace std;
const int mod = 998244353;
int n,a[maxn],mx,f[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
int C(int n,int m){return n<m?0:1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,x;i<=n;i++) scanf("%d",&x),a[x]++,mx=max(mx,x);
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%mod;
	for(int i=1;i<=mx;i++)
		for(int j=i+i;j<=mx;j+=i) a[i]+=a[j];
	for(int k=1;k<=7;k++){
		for(int i=mx;i>=1;i--){
			f[i]=C(a[i],k);
			for(int j=i+i;j<=mx;j+=i) f[i]=(f[i]-f[j])%mod;
		}
		if(f[1]) return printf("%d\n",k),0;
	}
	puts("-1");
}