51nod 1675 (莫比烏斯反演)

我們先不考慮 $a_{b_i} = b_{a_j}$ 這種情況，那麼就很裸的莫比烏斯反演了。
設 $f(x) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[\gcd(i,j)==x]$
在設 $g(x) = \sum_{x|d}f(d)$
$=\sum_{x|d}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[\gcd(i,j)==d]$
$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[x|\gcd(i,j)]$
$=\sum_{x|i}^{n}\sum_{x|j}^{n}1$
就得到如上式子，
那如果在考慮 $a_{b_i} = b_{a_j}$這個因素，只需加一個限制條件
$f(x) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[\gcd(i,j)==x][a_{b_i} = b_{a_j}]$
套用上面的方式，得到：$g(x) = \sum_{x|i}^{n}\sum_{x|j}^{n}[a_{b_i} = b_{a_j}]$
對於這個式子，可以 $log$得到

然後反演回去：$f(x)=\sum_{x|d}u(\frac{d}{x})*g(d)$
這裏x 等於1，所以最終答案爲：
$f(1)=\sum_{d=1}^{n}u(d)*g(d)$
$=\sum_{d=1}^{n}u(d)* \sum_{d|i}^{n}\sum_{d|j}^{n}[a_{b_i} = b_{a_j}]$

最終複雜度 $O(nlogn)$