在數學中有許多空間表示，比如向量空間、內積空間、歐式空間以及希爾伯特空間等。
1、距離的定義
具體的距離：實際上距離除了我們經常用到的直線距離外，還有向量距離， 函數距離、 曲面距離、折線距離等等，這些具體的距離與距離之間的關係類似於蘋果、香蕉等與水果的關係，前面是具體的事物，後面是抽象的概念。
距離就是一個抽象的概念，其定義爲：
設X是任一非空集，對X中任意兩點x,y，有一實數d(x,y)與之對應且滿足：
1. d(x,y) ≥0，且d(x,y)=0當且僅當x=y;
2. d(x,y)=d(y,x);
3. d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y)。
稱d(x,y)爲X中的一個距離。
2、線性空間、向量空間
定義了距離後，我們再加上線性結構，如向量的加法、數乘，使其滿足加法的交換律、結合律、零元、負元；數乘的交換律、單位一；數乘與加法的結合律（兩個）共八點要求，從而形成一個線性空間，這個線性空間就是向量空間。
3、範數
在向量空間中，我們定義了範數的概念，表示某點到空間零點的距離：
1. ||x|| ≥0;
2. ||ax||=|a|||x||;
3. ||x+y||≤||x||+||y||。
將範數與距離比較，可知，範數比距離多了一個條件2，數乘的運算，表明其是一個強化了的距離概念。範數與距離的關係可以類似理解爲與紅富士蘋果與蘋果的關係。
接下來對範數和距離進行擴展，形成如下：
範數的集合⟶ 賦範空間 +線性結構⟶線性賦範空間
距離的集合⟶ 度量空間 +線性結構⟶線性度量空間
4、內積空間、歐氏空間
下面在已經構成的線性賦範空間上繼續擴展，添加內積運算，使空間中有角的概念，形成如下：
線性賦範空間+內積運算⟶ 內積空間；
這時的內積空間已經有了距離、長度、角度等，有限維的內積空間也就是我們熟悉的歐氏空間。
5、希爾伯特空間
繼續在內積空間上擴展，使得內積空間滿足完備性，形成希爾伯特空間如下：
內積空間+完備性⟶ 希爾伯特空間
其中完備性的意思就是空間中的極限運算不能跑出該空間，如有理數空間中的2–√
的小數表示，其極限隨着小數位數的增加收斂到2–√，但2–√
屬於無理數，並不在有理數空間，故不滿足完備性。一個通俗的理解是把學校理解爲一個空間，你從學校內的宿舍中開始一直往外走，當走不動停下來時（極限收斂），發現已經走出學校了（超出空間），不在學校範圍內了（不完備了）。希爾伯特就相當於地球，無論你怎麼走，都還在地球內（飛出太空除外）。
6、巴拿赫空間
此外，前面提到的賦範空間，使其滿足完備性，擴展形成巴拿赫空間如下：
賦範空間+完備性⟶ 巴拿赫空間
以上均是在距離的概念上進行添加約束形成的，遞增關係如下：
距離⟶範數⟶內積
向量空間+範數⟶ 賦範空間+線性結構⟶線性賦範空間+內積運算⟶內積空間+完備性⟶希爾伯特空間
內積空間+有限維⟶歐幾里德空間
賦範空間+完備性⟶巴拿赫空間
順便提以下，對距離進行弱化，保留距離的極限和連續概念，就形成拓撲的概念。
轉載：https://blog.csdn.net/lulu950817/article/details/80424288
參考：https://blog.csdn.net/weixin_36811328/article/details/81207753