最大子矩陣！

問題描述：(具體見http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1081)
給定一個n*n(0<n<=100)的矩陣，請找到此矩陣的一個子矩陣，並且此子矩陣的各個元素的和最大，輸出這個最大的值。
Example：
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其中左上角的子矩陣：
9 2
-4 1
-1 8
此子矩陣的值爲9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。
我們首先想到的方法就是窮舉一個矩陣的所有子矩陣，然而一個n*n的矩陣的子矩陣的個數當n比較大時時一個很大的數字 O(n^2*n^2)，顯然此方法不可行。
怎麼使得問題的複雜度降低呢？對了，相信大家應該知道了，用動態規劃。對於此題，怎麼使用動態規劃呢？

讓我們先來看另外的一個問題(最大子段和問題)：
給定一個長度爲n的一維數組a，請找出此數組的一個子數組,使得此子數組的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n，例如
31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84
子矩陣59+26-53+58+97=187爲所求的最大子數組。
第一種方法－直接窮舉法:
maxsofar=0;
for i = 0 to n
{
for j = i to n
{
sum=0;
for k=i to j
sum+=a[k]
if (maxsofar>sum)
maxsofar=sum;
}
}

第二種方法－帶記憶的遞推法：
cumarr[0]=a[0]
for i=1 to n //首先生成一些部分和
{
cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i];
}

maxsofar=0
for i=0 to n
{
for j=i to n //下面通過已有的和遞推
{
sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]
if(sum>maxsofar)
maxsofar=sum
}
}
顯然第二種方法比第一種方法有所改進，時間複雜度爲O(n*n)。

下面我們來分析一下最大子段和的子結構，令b[j]表示從a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的當前值只有兩種情況，(1) 最大子段一直連續到a[j] (2) 以a[j]爲起點的子段，不知有沒有讀者注意到還有一種情況，那就是最大字段沒有包含a[j]，如果沒有包含a[j]的話，那麼在算b[j]之前的時候我們已經算出來了，注意我們只是算到位置爲j的地方，所以最大子斷在a[j]後面的情況我們可以暫時不考慮。
由此我們得出b[j]的狀態轉移方程爲：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},
所求的最大子斷和爲max{b[j],0<=j<n}。進一步我們可以將b[]數組用一個變量代替。
得出的算法如下：
int maxSubArray(int n,int a[])
{
int b=0,sum=-10000000;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(b>0) b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum) sum=b;
}
return sum;
}
這就是第三種方法－動態規劃。

現在回到我們的最初的最大子矩陣的問題,這個問題與上面所提到的最大子斷有什麼聯繫呢？
假設最大子矩陣的結果爲從第r行到k行、從第i列到j列的子矩陣，如下所示(ari表示a[r][i],假設數組下標從1開始)：
| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
| . . . . . . . |
| an1 …… ani ……anj ……ann |

那麼我們將從第r行到第k行的每一行中相同列的加起來，可以得到一個一維數組如下：
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
由此我們可以看出最後所求的就是此一維數組的最大子斷和問題，到此我們已經將問題轉化爲上面的已經解決了的問題了。

[cpp] view plaincopyprint?

1. #include<iostream>
2. using namespace std;
3. int dp[102][102];
4. int maxsub(int n,int a[])
5. {
6. int i,sum=0,b=0;
7. for(i=1;i<=n;i++)
8. {
9. if(b>0)b+=a[i];
10. else b=a[i];
11. if(b>sum)sum=b;
12. }
13. return sum;
14. }
15. int main()
16. {
17. int b[102];
18. int n,i,k,j,sum,maxsum;
19. //freopen("in.txt","r",stdin);
20. while(scanf("%d",&n)!=EOF)
21. {
22. for(i=1;i<=n;i++)
23. {
24. for(j=1;j<=n;j++)
25. {
26. scanf("%d",&dp[i][j]);
27. }
28. }
29. maxsum=0;
30. for(i=1;i<=n;i++)
31. {
32. memset(b,0,sizeof(b));
33. for(j=i;j<=n;j++)
34. {
35. for(k=1;k<=n;k++)
36. {
37. b[k]+=dp[j][k];
38. }
39. sum=maxsub(n,b);
40. if(sum>maxsum)maxsum=sum;
41. }
42. }
43. printf("%d/n",maxsum);
44. }
45. return 0;
46. }